前一個影片我們介紹了

當n越來越大時

無窮數列a 所對應的項

a 的情況

有可能是趨近一個數

趨近無限大

趨近負無限大

在某些數之間來回跳動

我們分別舉個例子來複習一下這些情況

例如無窮數列n分之1

與數列-2分之1的n次方

都是趨近於一個數

這個數是0

例如數列2n加1

就是趨近無限大

例如數列5減3n

就是趨近負無限大

而數列-1的n次方

就是在1與-1之間來回跳動

除了這些情況

還有可能像數列-2的n次方

當n愈來愈大時

它可能是正的無限大

也可能是負的無限大

在這兩種情況來回地跳動

有了前一個影片的觀念

接著我們來介紹無窮數列的極限

當n越來越大時

如果無窮數列a 所對應的項

a 是趨近一個數a的話

這個時候我們就稱

無窮數列a 的極限為a

記作limit n趨近於無限大

a 等於a

並稱數列a 為收斂數列

舉例來說

當n越來越大時

n分之1的值會愈來愈靠近0

此時我們就稱

無窮數列n分之1的極限為0

記作limit n趨近於無限大

n分之1等於0

並稱數列n分之1為收斂數列

從另一個角度來看這件事情

這個n分之1的值會愈來愈靠近0

那麼有多靠近呢

能夠比0.01小嗎

或是比0.001小呢

事實上只要n的值足夠大

n分之1的值要多靠近0都可以

甚麼意思呢

我們可以用例子來說明

例如當n大於100時

n分之1小於100分之1

等於0.01

也就是說這時候n分之1的值

與0的差距在0.01內

那麼若想要n分之1的值

與0的差距在0.001內

有可能辦到嗎

沒錯只要當n大於1000時

n分之1小於1000分之1

等於0.001

也就是說這時候n分之1的值

與0的差距在0.001內

一般而言

想要n分之1的值

與0的差距在某一正數內

都可以根據這個正數

找到足夠大的n

使得只要n大於n

n分之1的值與0的差距

都會小於這個正數

整體來說

當n趨向無限大

且a 趨近一個定值a時

稱無窮數列a 的極限為a

記作limit n趨近於無限大

a 等於a

並稱數列a 為收斂數列

那麼當另一方面

當n趨向無限大

且a 不會趨近於一個定值時

稱無窮數列a 的極限不存在

並稱數列a 為發散數列

這裡要特別注意的是

若無窮數列a 的極限存在

則極限只會有一個

也就是說像之前看過的

數列-1的n次方

當n趨向無限大時

-1的n次方在1與-1之間來回跳動

我們仍然稱數列

-1的n次方的極限不存在

也就是說數列-1的n次方為發散數列

解答 第題

將數列n分之-1的n次方逐項列出

-1 2分之1 -3分之1

4分之1 -5分之1

一直到100分之1

-101分之1 依此類推

觀察發現

當n趨向無限大時

n分之-1的n次方的值會趨近0

故limit n趨近於無限大

n分之-1的n次方等於0

第題 將數列2減n分之1逐項列出

2減1分之1

2減2分之1

2減3分之1

2減100分之1

依此類推

觀察發現

當n趨向無限大時

2減n分之-1的值

會趨近於2

故limit n趨近於無限大

2減n分之1等於2

剛剛看的例子

數列n分之-1的n次方

數列2減n分之1

都是收斂數列的例子

接下來看一些發散數列的例子

例如前一個影片提到過的

數列2n加1

當n趨向無限大時

無窮數列2n加1所對應的項2n加1

趨近於無限大

或是前一個影片提到過的

數列5減3n

當n趨向無限大時

無窮數列5減3n所對應的項5減3n

趨近於負無限大

亦或是剛剛提到過的

數列-1的n次方

當n趨向無限大時

無窮數列-1的n次方

在1與-1之間來回跳動

這些數列都沒有趨近於某一個特定的數

這些都是發散數列的例子

事實上發散數列的情況

不僅是以上提到趨近於無限大

負無限大

來回跳動

還有很多種

無法一一列舉完畢

大家只要抓住重點

當n趨向無限大時

不管a 是甚麼情況

只要a 沒有趨近一個定值

數列a 的極限都不存在

數列a 都是發散數列

當n趨向無限大

且a 趨近一個定值a時

稱無窮數列a 的極限為a

記作limit n趨近於無限大

a 等於a

並稱數列a 為收斂數列

當n趨向無限大

且a 不會趨近一個定值時

稱無窮數列a 的極限不存在

並稱數列a 為發散數列

這個單元我們介紹了無窮數列的極限

也介紹了無窮數列

可能是收斂數列

也可能是發散數列

下一個單元

我們會聚焦在無窮數列r的n次方

在哪些情況下它會收斂

又在哪些情況下它會發散呢

各位同學繼續加油哦