前一個影片我們介紹了無窮數列的極限 當n趨向無限大 且a 趨近於一個定值a時 稱無窮數列a 的極限為a 記作limit n趨近於無限大 a 等於a 並稱數列a 為收斂數列 當n趨向無限大 且a 不會趨近一個定值時 稱無窮數列a 的極限不存在 並稱數列a 為發散數列 其中要特別注意的是 若無窮數列a 的極限存在 則極限只會有一個 也就是說只要a 沒有趨近於一個定值 a 的極限都不存在 數列a 都是發散數列 知道無窮數列的極限之後 接下來我們會聚焦在無窮數列 r的n次方的極限 在哪些情況下它會收斂 又在哪些情況下它發散呢 將無窮數列r的n次方逐項列出 就是r r的平方 r的三次方 依此類推 接著我們分別以以下區間來討論 數列r的n次方的情況 r大於-1小於1 r等於1或r等於-1 r小於-1或r大於1 先來練習一個例子 將數列0.1的n次方逐項列出 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001依此類推 觀察發現 當n趨向無限大時 0.1的n次方的值 越來越小的正數且逐漸趨近0 故limit n趨近於無限大 0.1的n次方 等於0 將數列0的n次方逐項列出 0 0 0 0 0依此類推 觀察發現 當n趨向無限大時 0的n次方的值每一項都是0 故limit n趨近於無限大 0的n次方 等於0 將數列-0.1的n次方逐項列出 -0.1 0.01 -0.001 0.0001 -0.00001 依此類推 觀察發現 當n趨向無限大時 -0.1的n次方的值雖然會正負交互跳動 但是仍然逐漸趨近0 故limit n趨近於無限大 -0.1的n次方 等於0 從以上的例子我們可以看到 limit n趨近於無限大 0.1的n次方等於0 limit n趨近於無限大 0的n次方等於0 limit n趨近於無限大 -0.1的n次方等於0 那麼在r大於-1小於1的範圍內 如果r非常靠近1 例如r等於0.9 或r等於0.99 r的n次方的值也會隨著n的增加 逐漸趨近0嗎 我們先列一個表格 分別求當n等於1 10000時 0.9的n次方 與0.99的n次方的數值是多少 同學這裡可以暫停畫面 自己先按計算機試試看哦 經過計算機的計算之後 我們可以從表中發現 當n愈來愈大時 0.9的n次方 與0.99的n次方的值 會是越來越小的正數 且逐漸趨近0 一般而言當r大於-1小於1時 無窮數列r的n次方的極限都是0 再來看看當r等於1或r等於-1的情形 將數列1的n次方逐項列出 1 1 1 1 1依此類推 因為無窮數列1的n次方的每一項都是1 所以數列的極限為1 也就是說limit n趨近於無限大 1的n次方 等於1 另外當n趨向無限大時 -1的n次方在1與-1之間來回跳動 不會趨近於一個定值 所以無窮數列-1的n次方為發散數列 最後來看r小於-1或r大於1的情形 例如r等於2或r等於-2 將數列2的n次方逐項列出 2 4 8 16 32依此類推 觀察發現 當n趨向無限大時 2的n次方的值越來越大的正數 且逐漸趨近無限大 所以無窮數列2的n次方極限不存在 再將數列-2的n次方逐項列出 -2 4 -8 16 -32依此類推 觀察發現 當n趨向無限大時 -2的n次方的值會正負交互跳動 而且還離0越來越遠 也就是說它沒有趨近於一個定值 所以無窮數列-2的n次方極限也不存在 事實上不管r是多少 當r小於-1或r大於1時 無窮數列r的n次方都是發散數列 第題 因為π大於1 所以無窮數列π的n次方為發散數列 第題 因為2分之1減根號2 約等於-0.2 介在正負1之間 所以無窮數列2分之1減根號2的n次方 為收斂數列 且其極限為0 想想看當r大於1 但是很靠近1的時候 r的n次方還會趨向無限大嗎 試著用計算機代幾個數字按按看 例如1.01的1萬次方 1.001的10萬次方 無窮數列r的n次方的極限 當r大於-1小於1時 無窮數列r的n次方的極限為0 當r等於1時 無窮數列r的n次方的極限為1 當r小於等於-1或r大於1時 無窮數列r的n次方為發散數列 其極限不存在 這個單元我們介紹了無窮數列 r的n次方的極限 發現只有當r大於-1小於1 和r等於1 也就是說r大於-1小於等於1時 r的n次方才有極限 其他情況無窮數列r的n次方為發散數列 下一個單元我們會討論 數列的極限有哪些運算性質呢 是不是也能進行四則運算呢 各位同學繼續加油吧