在進行這個單元前

我們先回顧一下

之前介紹過無窮數列的極限

當n趨向無限大

且a 趨近一個定值a時

稱無窮數列a 的極限為a

記作limit n趨近於∞

a 等於a

並稱數列a 為收斂數列

也介紹過當r大於-1

小於等於1時

無窮數列r的n次方的極限才存在

更細的來說

當r大於-1小於1時

無窮數列r的n次方的極限為0

當r等於1時

無窮數列r的n次方的極限為1

而這些都是單一收斂數列的極限

如果今天不是只有單一收斂數列

而是要將兩個收斂數列

a 與b 的對應項進行四則運算

例如數列a 加b

數列a 減b

數列a 乘b

數列a 除以b

這些經過四則運算後的數列

仍會是收斂數列嗎

在開始探討之前

我們先來練習單一收斂數列的極限

接著我們來探討

兩個收斂數列a 與數列b 的對應項

進行四則運算後

其數列是否收斂

如果收斂的話

極限值要如何計算呢

我們先用例子來說明

例如無窮數列a

等於數列3加n分之2

與無窮數列b

等於數列2減n平方分之5

這兩個數列都是收斂數列

無窮數列a 的極限為3

無窮數列b 的極限為2

接著來看數列a 加b

將這兩個數列相加就會得到

3加n分之2加上2減n平方分之5

最後整理得到

5加n分之2減n平方分之5

當n愈來愈大時

n分之2會趨近於0

n平方分之5也會趨近於0

所以最後5加n分之2減n平方分之5

就會趨近於5

恰好是無窮數列a 的極限3

加上無窮數列b 的極限2

這樣的結果並非偶然

這是因為數列極限的運算性質

數列極限的運算性質

若無窮數列a 與數列b 的極限

分別為a與b

則相加後的極限

等於兩個極限相加

相減後的極限

等於兩個極限相減

如果數列a 乘上一個常數c

那麼極限也會乘上常數c

相乘後的極限

等於兩個極限相乘

在b 不等於0

且b不等於0的前提下

相除後的極限等於兩個極限相除

有關數列極限的運算性質

要特別注意的是

如果數列a 與數列b 皆為收斂數列

則推得數列a 加b 也會收斂

而且數列a 加b 的極限

恰為數列a 與b 的極限相加

但是反過來就不一定正確

也就是說數列極限的運算性質

反過來不一定正確

意思就是

如果數列a 加b 是收斂數列的話

並不能保證數列a 與數列b

也都是收斂數列

我們舉一個例子來看

如果數列a 加b 收斂

而且極限值為0

那麼數列a 與數列b

有沒有可能是發散數列呢

答案是肯定的

例如數列a 等於數列n

數列b 等於數列-n

這兩個當n趨向無窮大時

數列a 趨向無窮大

數列b 趨向負無窮大

數列都是發散數列

但是數列a 加b

等於n加-n等於數列0

也就是說

數列a 加b 是一個

每一項都是0的收斂數列

而且數列a 加b 的極限值就是0

這個反例說明了

數列極限的相加後的運算性質

反過來不一定正確

數列極限的相乘後的運算性質

反過來也不一定正確

最後來看一個綜合以上觀念的多選題

判斷下列選項是否正確

若數列a 與數列b 都收斂

則數列a 加b 收斂

若數列a 加b 收斂

則數列a 與數列b 都收斂

若數列a 收斂於0

則數列a 的平方也收斂於0

若數列a 的平方收斂於1

則數列a 也收斂於1

第個選項正確

因為它是數列極限的運算性質

數列a 與數列b 的極限分別為a與b

則相加後的極限等於兩個極限相加

第個選項就是反過來是錯誤的

反例就是剛剛提過的

數列a 等於數列n

數列b 等於數列-n

都是發散的

但是數列a 加b

等於數列0 收斂

第個選項正確

因為它是數列極限的運算性質

數列a 的平方為數列a 乘以a

所以相乘後的極限等於兩個極限相乘

第個選項也是反過來是錯誤的

如果數列a 等於數列-1的n次方

是發散的

但是數列a 的平方

等於數列-1的n次方的平方

利用指數律得到

數列-1的平方的n次方

也就是數列1的n次方會收斂於1

數列極限的運算性質

若無窮數列a 與數列b 的極限

分別為a與b

則相加後的極限等於兩個極限相加

相減後的極限等於兩個極限相減

如果數列a 乘上一個常數c

那麼極限也會乘上常數c

相乘後的極限等於兩個極限相乘

在b 不等於0

且b不等於0的前提下

相除後的極限等於兩個極限相除

這個單元我們提到了數列極限的運算性質

也提到了反過來不一定正確

也就是說兩個發散的數列相加

有可能變成收斂的數列

下一個單元就會教大家

在哪些情況下

兩個發散數列經過四則運算後

有可能會收斂

而且要怎麼去計算它的極限值

大家繼續加油哦