在進行這個單元前 我們先回顧一下 數列極限的運算性質 若無窮數列a 與數列b 的極限 分別為a與b 則相加後的極限等於兩個極限相加 相減後的極限等於兩個極限相減 如果數列a 乘上一個常數c 那麼極限也會乘上常數c 相乘後的極限等於兩個極限相乘 在b 不等於0且b不等於0的前提下 相除後的極限等於兩個極限相除 依據數列極限的運算性質我們知道 當無窮數列a 與數列b 的極限都存在 且b 極限不等於0 數列b 分之a 仍然會是收斂數列 其極限值就是a 與b 的極限相除 但是如果無窮數列a 與數列b 的 都是發散數列時 數列a 除以b 卻有可能是收斂數列哦 舉例來說 如果我們想求limit n趨近於無限大 2n加5分之3n減1的時候 因為分子數列3n減1 與分母數列2n加5皆為發散數列 所以我們不能用數列極限的運算性質 來求它的極限 這時候該怎麼辦呢 其實可以利用以前學過概念 將分式進行擴分或約分 其值不變 首先我們先將分式 2n加5分之3n減1約分 分子分母同除以n 得到2加n分之5分之3減n分之1 接著再來看分子和分母的數列 是不是收斂數列 分子數列3減n分之1的極限為 limit n趨近於無限大 3減n分之1 等於3減0等於3 分母數列2加n分之5的極限為 limit n趨近於無限大 2加n分之5 等於2加0等於2 也就是說 分子與分母的數列分別收斂到3與2 最後因為分子數列3減n分之1 與分母數列2加n分之5 皆為收斂數列 所以可以利用數列極限的運算性質 因此limit n趨近於無限大 2加n分之5分之3減n分之1 就會等於limit n趨近於無限大 2加n分之5分之 limit n趨近於無限大 3減n分之1 因此得到其極限值為2分之3 剛剛我們看到例子中 它的分子與分母n 的最高次數一樣 都是一次 如果分子與分母n的最高次數 不一樣的時候 又會怎麼樣呢 先看limit n趨近於無限大 2n平方減1分之3n加5這個例子 因為分子數列3n加5 與分母數列2n平方減1 皆為發散數列 所以我們不能用 數列極限的運算性質來求它的極限 所以還是先利用約分的方式 首先我們先將分式 2n平方減1分之3n加5約分 但是因為分子分母的次數不一樣 如果我們同除以n 得到2n減n分之1分之3加n分之5 分子2n減n分之1還是發散數列 依然不能用極限的運算性質 因此我們會去同除分子分母 兩式的最高次方項 這題就是n平方 除完之後得到 2減n平方分之1分之 n分之3加n平方分之5 接著再來看分子和分母的數列 是不是收斂數列 分子數列n分之3加n平方分之5的極限為0 分母數列2減n平方分之1的極限為2 也就是說 分子與分母的數列極限分別為0與2 最後利用數列極限的運算性質可以得到 limit n趨近於無限大 2n平方減1分之3n加5 等於limit n趨近於無限大 2減n平方分之1分之 n分之3加n平方分之5 等於limit n趨近於無限大 2減n平方分之1分之 limit n趨近於無限大 n分之3加n平方分之5 等於2分之0等於0 由這題我們可以發現 當分子多項式的次數 比分母小的時候 兩個多項式相除的極限就會是0 最後我們來看分子多項式的次數 大於分母多項式的次數的例子 如果利用約分同除以較高的次數n三次方 除完之後得到 n分之1減n三次方分之1 分之2加n平方分之1 此時分子與分母的數列的極限 分別為2與0 如果這時候我們利用 極限的運算性質去求極限時 就會造成分母為0 這樣不合理的狀況 事實上像這樣出現分母的極限為0時 表示這個極限不存在 如果我們利用長除法 將n平方減1分之2n三次方加n相除後 會得到商式為2n 餘式為3n 再利用除法原理 被除式等於除式乘以商式加餘式 可以得到2n三次方加n 等於括號n平方減1 乘以2n加3n 再同除以括號n平方減1 推得n平方減1分之2n三次方加n 等於2n加上n平方減1分之3n 這時我們要求 n平方減1分之2n三次方加n的極限 就是要求2n加上n平方減1分之3n的極限 但是2n加n平方減1分之3n的極限不存在 所以n平方減1分之2n三次方加n的極限不存在 也就是說 當分子多項式的次數 大於分母多項式的次數時 其極限不存在 這個影片我們探討了 分子與分母皆為n的多項式時 極限的情況 當分子多項式的次數 等於分母多項式的次數時 其極限存在 例如limit n趨近於無限大 2n加5分之3n減1 等於limit n趨近於無限大 2加n分之5分之3減n分之1 等於limit n趨近於無限大 2加n分之5分之 limit n趨近於無限大 3減n分之1 等於2分之3 當分子多項式的次數 小於分母多項式的次數時 其極限為0 例如limit n趨近於無限大 2n平方減1分之3n加5 等於limit n趨近於無限大 2減n平方分之1分之 n分之3加n平方分之5 等於limit n趨近於無限大 2減n平方分之1分之 limit n趨近於無限大 n分之3加n平方分之5 等於2分之0等於0 當分子多項式的次數 大於分母多項式的次數時 其極限不存在 例如limit n趨近於無限大 n平方分之1分之 2n三次方加n不存在 這個影片我們學習了 當分子與分母皆為n的多項式時 它極限的情況 那麼如果分子與分母不是多項式的樣子 那又要怎麼做呢 我們下個影片見吧