前一個影片我們探討了 分子與分母皆為n的多項式時 極限的情況 當分子多項式的次數 等於分母多項式的次數時 其極限存在 當分子多項式的次數 小於分母多項式的次數時 其極限為0 當分子多項式的次數 大於分母多項式的次數時 其極限不存在 之前我們探討的是當 分子與分母皆為n的多項式時 它極限的情況 那麼如果分子與分母 不是多項式的樣子 那又要怎麼做呢 舉例來說 如果我們想求limit n趨近於無限大 2的n次方減5的n次方分之 5的n加1次方的時候 因為分子數列5的n加1次方 與分母數列2的n次方 數列5的n次方 都是無窮數列r的n次方的形式 當r大於1時 limit n趨近於無限大 r的n次方是發散數列 所以這個分子與分母都是發散數列 所以我們不能用數列極限的運算性質 來求它的極限 因此我們一樣利用約分的方式 看能不能讓分子與分母 都變成收斂數列 首先我們先將分式 2的n次方減5的n次方分之 5的n加1次方約分 目前看起來有2的n次方 5的n次方兩種選擇 如果我們同除以2的n次方 得到1減2的n次方分之5的n次方 分之2的n次方分之5的n加1次方 整理可得 1減2分之5的n次方 分之5乘以2分之5的n次方 因為2分之5的n次方是發散數列 依然不能用極限的運算性質 因此我們會去同除以分子分母中 底數比較大的指數 這題就是5的n次方 除完之後整理得到 5分之2的n次方減1分之5 接著再來看分子和分母的數列 是不是收斂數列 分子數列5的極限為5 分母數列5分之2的n次方減1的極限 為-1 也就是說分子與分母的數列極限 分別為5與-1 最後利用數列極限的運算性質 可以得到limit n趨近於無限大 2的n次方減5的n次方分之 5的n加1次方 等於limit n趨近於無限大 5的n次方分之2的n次方減1 分之5 等於limit n趨近於無限大 5分之2的n次方減1分之 limit n趨近於無限大 5 等於-1分之5 等於-5 由這題我們可以發現 當在約分的時候 我們會選數字比較大的那個指數 才會有極限哦 還有一種求極限的情況 它雖然不是長得像分式的情況 但是必須要我們手動 刻意化成分式的樣子 才能求它的極限 例如根號n加1減根號n的極限 因為前項根號n加1 與後項數列根號n 皆為發散數列 所以我們不能用數列極限的運算性質 來求它的極限 那要怎麼刻意把它化成分式的樣子呢 首先將根號n加1減根號n 分子與分母同乘以根號n加1加根號n 化簡得到根號n加1加根號n分之1 接著分子與分母同除以根號n 可以得到分子變成根號n分之1 分母變成根號1加n分之1加1 最後因為分子數列根號n分之1的極限為0 分母數列根號1加n分之1加1的極限為1 所以利用數列極限的運算性質 可以得到 limit n趨近於無限大 根號n加1減根號n 等於limit n趨近於無限大 根號1加n分之1加1 分之根號n分之1 等於limit n趨近於無限大 根號1加n分之1加1分之 limit n趨近於無限大 根號n分之1 等於1分之0 等於0 我們回顧一下 一開始我們先刻意將它化成分式的樣子 再利用約分把分子與分母 都換成可以求極限的數列 最後再利用數列的極限的運算性質 來求極限 最後我們來做這幾個影片的重點整理 首先若無窮數列a 與數列b 的極限都存在 分別為a與b 則我們可以用數列極限的運算性質 相加減後的極限等於兩個極限相加減 如果數列a 乘上一個常數c 那麼極限也會乘上常數c 相乘後的極限等於兩個極限相乘 在b 不等於0 且b不等於0的前提下 相除後的極限等於兩個極限相除 接著如果分子與分母皆為n的多項式時 這個分式的極限有可能存在 也有可能不存在 當分子多項式的次數 等於分母多項式的次數時 其極限存在 當分子多項式的次數 小於分母多項式的次數時 其極限為0 當分子多項式的次數 大於分母多項式的次數時 其極限不存在 最後這個影片探討了 指數的形式與根式的形式 在指數的形式 如果分式的分子與分母 是指數的形式時 在約分的時候 我們會選擇數字比較大的那個指數 例如 limit n趨近於無限大 2的n次方減5的n次方分之 5的n加1次方 這題就是5的n次方 約分完後整理就可 以數列極限的運算性質求極限了 如果是根式的形式 我們先刻意將它化成分式的樣子 再利用約分把分子與分母 都換成可以求極限的數列 最後再利用數列極限的運算性質 來求極限 數列的極限到這邊就告一個段落了 之後會再進一步學習 用數列極限求無窮級數的和 大家繼續努力吧