學習了極限的概念後 這個影片要來介紹一個 極限在金融領域的延伸與應用 在以前學過的指數單元中 曾經介紹過單利與複利 我們先來複習一下這兩個觀念 單利是將所獲得的利息與本金分開 隨著時間的增加 本金不會變多 所以每期領取的利息固定 在這種情況下 可以想成把每期的利息都領走 複利則是把每期所獲得的利息 併到下一期的本金中 所以本金會越來越大 同時之後的利息也會越來越多 一般而言設本金為P元 每期的利率為r 經過n期後 單利的本利和公式為 P乘以括號1加r乘以n 複利的本利和公式為 P乘以括號1加r的n次方 由以上的例子我們可以發現 在相同的本金 利率與期數之下 以複利計算的本利和會比較高 這個例子都是一年為一期 進行利息的計算 那麼如果計算利息的時間越短 期數分的越多 所得到的本利和會越多嗎 接著我們就來探討這個問題 為了方便理解與解釋 我們先以本金1萬元 年利率百分之100來做計算 以一年為一期 一年後的本利和為 1乘以括號1加百分之100的1次方 等於2萬元 再來看看如果半年計息一次 一年後總共計算了2期 每期的利息就是 2分之百分之100 等於百分之50 一年後的本利和為 括號1加百分之50的平方 等於2.25萬元 依據這樣的邏輯概念 我們將這些資訊整理成表格 因為年利率為百分之100 所以當一年共有n期時 每期利率為 r等於n分之百分之100 也就是n分之1 那麼一年n期後的本利和 就是括號1加n分之1的n次方 這時我們來看 當計算利息的時間為一年時 一年共計算1期 每期利率為百分之100 也就是1 一年後的本利和為 括號1加1分之1的1次方 等於2 再來當計算利息的時間為半年時 一年共計算2期 每期利率為2分之百分之100 也就是2分之1 一年後的本利和為 括號1加2分之1的平方 等於2.25 以此類推 我們可以計算出每季計息一次 每月計息一次的本利和 透過以上的練習 我們發現當計算利息的時間越短 同樣經過一年後所得到的本利和 由2萬 2.25萬 2.4414萬 2.613040萬 有逐漸上升的趨勢 看起來當n越來越大時 計息次數越多 本利和也越多 那麼如果在一年內的計息次數越多 本利和會不會無上限的越來越大呢 我們可以繼續延伸這張表格 去計算每週計息 每天計息 每小時計息 每分鐘計息的情況下 本利和為多少 由於計算上的數字比較大 同學可以先行準備計算機哦 當計算利息的時間為一週時 一年共計算52期 每期利率為52分之1 一年後的本利和 為括號1加52分之1的52次方 當計算利息的時間為一天時 如果不考慮閏年的話 一年共計算365期 每期利率為365分之1 一年後的本利和為 括號1加365分之1的365次方 當計算利息的時間為一小時 一年共計365乘以24 等於8760期 每期利率為8760分之1 一年後的本利和為 括號1加8760分之1的8760次方 當計算利息的時間為一分鐘 一年共計8760乘以60 等於525600期 每期利率為525600分之1 一年後的本利和為 括號1加525600分之1的525600次方 各位同學試著暫停一下畫面 按按看計算機 把以上的本利和近似值算出來吧 由表格中可以看到 當n愈來愈大時 計息次數愈多 本利和愈大 但是看起來並沒有無限制的變大 而且會趨近2.718 一般來說 在本金與年利率同樣的情況下 但是當n趨向無限大 也就是一年內計息次數愈來愈多次時 就宛如分分秒秒 時時刻刻都在以複利計息 我們稱這種情況為連續複利 這時本利和括號1加n分之1的n次方 會趨近一個固定的常數 我們將這個常數記做e 也就是說 limit n趨近於無限大 括號1加n分之1的n次方 等於e 那麼這個數究竟是多少呢 事實上e等於 2.718281828459045點點點 它就像圓周率π 一樣 是一個小數點後有無限多個數字 而且不循環的無理數 又因為歐拉是第一位使用e 來表示這個常數的數學家 所以這個常數又被稱為歐拉數 以上的例子是年利率百分之100的情況 一年n期後的本利和會趨近於e 一般來說如果年利率為r時 一年n期後的本利和 括號1加n分之r的n次方 會趨近於e的r次方 各位同學用計算機算算看 不同r的情況吧 由於e是一個常數 所以以e這個常數為底數的指數函數 記做e的x次方 稱為自然指數函數 以e為底數的對數函數 記做log以e為底的x 又可記做natural log 其中這個符號念作nature log x 稱為自然對數函數 這兩個函數在自然科學界 是很常使用到的函數 e是一個無理數 它的值大約是2.718281828459045點點點 limit n趨近於無限大 括號1加n分之1的n次方 等於e limit n趨近於無限大 括號1加n分之r的n次方 等於e的r次方 e的x次方是以e為底數的指數函數 稱為自然指數函數 log以e為底的x 是以e為底數的對數函數 又可以記做natural log 稱為自然對數函數 連續複利與歐拉數e的基本概念 就先介紹到這裡 更深一步的內容 留待各位同學未來選擇 經濟相關的科系再去探究囉