在進入本單元的內容之前 我們先來看看一個生活上的例子 如畫面所示 若樓梯上的第一階有2枚金幣 第二階有4枚 第三階有6枚 以此類推 那麼請同學思考幾個問題 第一個問題 請問第六階有多少枚金幣呢 相信同學可以從題目的規律可以得知 第k階的階梯會有2k枚金幣 所以第六階的階梯上會有 6乘以2等於12枚金幣 接下來我們來看第二個問題 若某人走樓梯並撿拾階梯上的金幣 則此人從第一階走到第六階時 身上共有多少金幣呢 相信同學也可以滿快的得到 此人最後身上的金幣個數為 2加4加6加8加10加12 就可以算出總和為42枚金幣 上述的情境 將金幣個數2 4一直到12的各項 用加號連接起來所成的式子 2加4加6一直加到12 就是我們在第二冊所學習到的級數的內容 如畫面所示 情境中第1個階梯上有2乘以1個金幣 第2個階梯上有2乘以2個金幣 推得第k個階梯上有2k個金幣 因此金幣的總數可以想成是一堆2k的總和 而這裡的k 為第1階到第6階的1到6 在此我們將總和以符號sigma來表示 這個符號念作sigma 數學上常作為總和或連加的意思 sigma為希臘字母 其符號的寫法 長得很像情境中的樓梯的形狀 是不是很有趣呢 當我們把總和改為sigma後 再將k為1到6的1跟6 分別寫在sigma的下方與上方 下方寫上k等於1 上方寫上6 而畫面上的這個數學表示法 sigma k等於1到6 2k 代表著將k從1 2 3一直代到6 得到2 4 6 8 10 12六個數後 再做加總 也就是金幣的總數為 sigma k等於1到6 2k等於2加4加6一直加到12 同學們可以發現 所謂的sigma符號 簡單的來說 跟以前所學的數列a 符號類似 只是sigma將數列中的逗號改為加號而已 我們舉一個簡單的例子 請列出數列2k減1的前5項 在這裡我們將k用1到5代入 分別得到1 3 5 7 9這五個數字 也就是數列2k減1前五項為 1 3 5 7 9 所以如果要求數列2k減1 前五項的總和 1加3加5加7加9 就可以用sigma k等於1到5 2k減1來表示 也就是sigma k等於1到5 2k減1等於1加3加5加7加9 重點 級數a 加a 一直加到a 可以簡記成 sigma k等於1到n a 即sigma k等於1到n a 等於a 加a 一直加到a 也就是說sigma k等於1到n a 就是從第1項a 加總到第n項a 的意思 例如sigma k等於1到5 a 等於 a 加a 加a 加a 加a sigma k等於1到10 2的k次方等於 2的1次方加2的2次方加2的3次方 一直加到2的10次方 範例將下列各式寫成連加的式子 並求出其值 第題 sigma k等於1到4 2k加1 第題 sigma k等於1到5 第題 sigma k等於1到3 4的k次方 解答 第題我們將k用1到4代入 得到3 5 7 9 所以sigma k等於1到4 2k加1 等於3加5加7加9等於24 第題比較特別的 sigma後面的數列3沒有k 而沒有k的意思是 不管k是多少 此數列的值就是3 也就是k用1到5代入的值為3 3 3 3 3 也就是sigma k等於1到5 3 等於3加3加3加3加3等於15 第題我們將k用1到3代入的值為 4的1次方 4的2次方 4的3次方 得到sigma k等於1到3 4的k次方 等於4的1次方加4的2次方加4的3次方 等於4加16加64等於84 將無窮數列a 的各項用加號連接起來 所成的式子a 加a 加a 一直往後加 稱為無窮級數 利用sigma符號可將無窮級數 a 加a 加a 一直往後加 簡記成sigma n等於1到無限大 a 即sigma n等於1到無限大 a 等於a 加a 加a 一直加加到無窮多項 也就是說 sigma n等於1到無限大 a 就是從第1項開始 依序逐項一直加下去的意思 例如sigma n等於1到無限大 2分之1的n次方 等於2分之1加4分之1加8分之1 一直加到2的n次方分之1 一直往後加 範例 試將下列無窮級數以sigma符號表示 第題 3加9加27一直加到3的n次方 再一直加到無窮多項 第題 1分之1加2分之1加3分之1 一直加到n分之1 再一直加到無窮多項 第題 1乘以2分之1加2乘以3分之1 加3乘以4分之1 一直加到n乘以n加1分之1 再一直加到無窮多項 解答 第題 3加9加27一直加到3的n次方 再一直加到無窮多項 等於3的1次方加3的2次方加3的3次方 一直加到3的n次方 再一直加到無窮多項 等於sigma n等於1到無限大 3的n次方 第題 我們知道這個級數的第一項為1分之1 第二項為2分之1 一直到第n項為n分之1 因此1分之1加2分之1加3分之1 一直加到n分之1 再一直加到無窮多項 可寫成sigma n等於1到無限大 n分之1 第題 此級數的每一項的分母 我們將它拆成兩部分來看 左邊的藍色數字分別為1 2 3一直往後 到n項為n 右邊的紅色數字為2 3 4依此類推 到第n項為n加1 因此1乘以2分之1加2乘以3分之1 加3乘以4分之1 一直加到n乘以n加1分之1 再一直加到無窮多項 可寫成 sigma n等於1到無限大 n乘以n加1分之1 有限級數 sigma k等於1到n a 等於a 加a 一直加到a 無窮級數 sigama n等於1到無限大 a 等於a 加a 加a 一直加到無窮多項 根據以上sigma的符號的介紹 我們已經知道級數可以用sigma表示 而級數sigma k等於1到10 2k加1 等於3加5加7加9一直加到21 與級數sigma 等於1到10 2的n次方 等於2的1次方加2的2次方加2的3次方 一直加到2的10次方 這兩個級數的總和 分別可以利用以前所學的 等差與等比的公式求和 而其他一些特別的級數 例如 sigma k等於1到n k的平方 其總和為多少呢 我們將於下一部影片作詳細的介紹 敬請期待