我們來複習一下 上部影片所介紹的級數sigma的內容 sigma k等於1到n a 等於a 加a 一直加到a 請同學思考一下 sigma k等於1到4 3k加2 怎麼寫成連加的式子 並求其和 這個問題的解答為 我們將k用1到4代入 得到數列3k加2的前四項 為3乘以1加2 3乘以2加2 3乘以3加2 3乘以4加2 也就是5 8 11 14 所以sigma k等於1到4 3k加2 等於5加8加11加14 其和等於38 上述的例子中 數列前四項的和為 括號3乘1加2 加括號3乘2加2 加括號3乘3加2 加括號3乘4加2 除了可以寫成5加8加11加14之外 我們也可以利用加法的交換律 改寫成 括號3乘以1 加3乘以2 加3乘以3 加3乘以4 加上括號2加2加2加2 也可以利用乘法分配律 改寫成 3乘以括號1加2加3加4 加4乘以2 都可以算出此級數的和 根據以上過程 我們可以得到sigma的運算性質 重點1 sigma的運算性質 sigma k等於1到n a 加b 等於 sigma k等於1到n a 加sigma k等於1到n b sigma k等於1到n c乘以a 等於c乘以sigma k等於1到n a 其中c是常數 也就是某個數字 對於某個常數c sigma k等於1到n c 等於n乘以c 這三個性質的證明方式 只要利用上述的加法交換律 與乘法分配律即可 證明 sigma k等於1到n a 加b 等於括號a 加b 加括號a 加b 加括號a 加b 一直加到括號a 加b 我們可以利用加法交換律 對數列a 與b 分別做加總 也就是等於括號a 加a 一直加到a 加上括號b 加b 一直加到b 然後等於sigma k等於1到n a 加sigma k等於1到n b 同理可知sigma k等於1到n a 減b 等於sigma k等於1到n a 減sigma k等於1到n b sigma k等於1到n c乘以a 等於c乘以a 加c乘以a 加c乘以a 一直加到c乘以a 我們可以將c提出去 等於c乘以括號a 加a 加a 一直加到a 也就等於c乘以sigma k等於1到n a 常數c的sigma加總 k等於1到n的c 等於c加c加c一直加c 第一項到第n項都是c 總共有n個c相加 總和就是n乘以c 以上就是這三個性質的證明 sigma k等於1到n a 加b 等於sigma k等於1到n a 加sigma k等於1到n b 就好像是分配律 將sigma分配到數列a 與b 上 而sigma k等於1到n c乘以a 等於c乘以sigma k等於1到n a 就像是將數字c提到最前面去 sigma k等於1到n c 為n個c相加 也就是n乘以c 這三個性質在計算的時候會滿常出現 同學要熟記喔 範例一 已知sigma k等於1到10 a 等於30 sigma k等於1到10 b 等於15 試求下列各值 解答 第題 sigma k等於1到10 2乘以a 我們利用第二個性質 將數字2提到最前面去 寫成2乘以sigma k等於1到10 a 就可以得到第一小題的答案為 2乘以30等於60 第題 sigma k等於1到10 2乘以a 減b 加4 我們利用第一個性質將式子改寫成 sigma k等於1到10 2a 加上sigma k等於1到10 -b 加上sigma k等於1到10 4 然後再利用第二個性質 將數字2跟-1提出去 得到2乘以sigma k等於1到10 a 減sigma k等於1到10 b 加上sigma k等於1到10 4 最後sigma k等於1到10 4 為10個4相加 也就是10乘以4 因此第二小題的答案為 2乘以30減15 加上10乘以4等於85 接下來我們複習第二冊所學的內容 同學是否還記得 1加2加3一直加到n 與1平方加2平方加3平方 一直加到n平方的總和 分別等於多少呢 同學們應該有一點印象 1加2加3一直加到n的總和為 2分之n乘以括號n加1 而1平方加2平方加3平方 一直加到n平方的總和為 6分之n乘以括號n加1 乘以括號2n加1 例如 1平方加2平方加3平方 一直加到10平方的總和為 6分之10乘以括號10加1 乘以括號20加1 就得到385的答案 而1加2加3一直加到n 我們也可以利用sigma表示為 sigma k等於1到n k 而1平方加2平方加3平方 一直加到n平方 也可以寫成sigma k等於1到n k平方 而得到以下結論 重點 2 sigma k等於1到n k 等於2分之n乘以括號n加1 sigma k等於1到n k平方 等於6分之n乘以括號n加1 乘以括號2n加1 同理sigma k等於1到n k的三次方 等於2分之n乘以n加1 再整個括號平方 上述三個公式 大家務必要熟記喔 範例二 試求下列各值 解答 第題 根據sigma的運算性質 sigma k等於1到10 2的值為 10乘以2等於20 第題 我們將sigma裡的數字5 提到前面去 得到sigma k等於1到10 5乘以k 等於5乘以sigma k等於1到10 k 而sigma k等於1到10 k 就是1加2加3一直加到10 也就等於2分之10乘以括號10加1 也就是55 因此5乘以sigma k等於1到10 k 就等於5乘以55等於275 第題 sigma k等於1到10 k乘以括號k加5 我們先將k與括號k加5乘開 得到sigma k等於1到10 k平方加5k 也就等於sigma k等於1到10 k平方 加上sigma k等於1到10 5k 然後再將5提到前面去 得到sigma k等於1到10 k平方 加5乘以sigma k等於1到10 k 最後分別將sigma k等於1到n k平方 等於6分之n乘以括號n加1 乘以括號2n加1 與sigma k等於1到n k 等於2分之n乘以括號n加1 分別代進去 得到6分之10乘以括號10加1 乘以括號20加1 加上5乘以2分之10乘以括號10加1 得到385加275等於660 重點整理 重點 1 sigma的運算性質 sigma k等於1到n a 加減b 等於sigma k等於1到n a 加減sigma k等於1到n b sigma k等於1到n c乘以a 等於c乘以sigma k等於1到n a c是常數 sigma k等於1到n c 等於n乘以c c是常數 重點 2 sigma k等於1到n k 等於2分之n乘以括號n加1 sigma k等於1到n k平方 等於6分之n乘以括號n加1 乘以括號2n加1 sigma k等於1到n k的三次方 等於2分之n乘以括號n加1 再整個括號平方 我們從上述的重點 1得知 sigma k等於1到n a 加減b 等於sigma k等於1到n a 加減sigma k等於1到n b 那我們來思考一下 sigma k等於1到n a 乘以b 與sigma k等於1到n a 除以b 會不會分別等於 sigma k等於1到n a 乘以sigma k等於1到n b 與sigma k等於1到n a 除以sigma k等於1到n b 呢 我們用n等於2來說明 k等於1到2 a 乘b 會不會等於sigma k等於1到2 a 乘以sigma k等於1到2 b 左邊的sigma k等於1到2 a 乘以b 等於a 乘b 加a 乘b 而右邊的sigma k等於1到2 a 乘sigma k等於1到2 b 等於括號a 加a 乘以括號b 加b 很明顯地乘開後不會等於左邊的 a 乘b 加a 乘b 因此sigma k等於1到n a 乘b 不等於sigma k等於1到n a 乘sigma k等於1到n b 同樣地sigma k等於1到n a 除b 也不會等於sigma k等於1到n a 除以sigma k等於1到n b 同學們在使用sigma的運算性質時 要特別地注意喔 以上為sigma有限級數的運算性質的內容 同學們繼續加油喔