我們在前幾部影片已經介紹過 無窮數列的極限 當n愈來愈大時 如果無窮數列a 所對應的項a 是趨近一個數a的話 這個時候我們就稱無窮數列a 的極限為a 記作limit n趨近於無限大 a 的極限等於a 並稱數列a 為收斂數列 另一方面 當n趨向無限大 且a 不會趨近一個定值時 稱無窮數列a 的極限不存在 記作limit n趨近於無限大 a 的極限不存在 並稱數列a 為發散數列 我們來複習一下之前看過的問題 明顯地選項為發散數列 選項為收斂數列 而選項 數列n分之3n減1可以化為 數列3減n分之1 因此收歛到3 所以答案為選項 以上觀念與問題 同學如果還不夠熟悉的話 可以將先前的影片 無窮數列極限的定義 再複習一下喔 我們已經對無窮數列的極限有所了解 而無窮級數的極限又會是怎樣呢 我們知道無窮級數 可以用sigma表示為 sigma k等於1到無限大 a 等於a 加a 加a 一直加到a 會加到無窮多項 因此我們先從此級數的第1項開始 逐次逐項相加 並得到以下數列 數列S 為a a 加a a 加a 加a 依此類推一直到 a 加a 加a 一直加到a 再往後依此類推 所以我們只要探討數列S 是否收斂 就可以得到無窮級數 sigma k等於1到無限大 a 收斂與否 重點1 無窮級數的收斂 給定無窮級數 a 加a 加a 一直加到a 加到無窮多項 並令其前n項和為S 即S 等於a 加a 加a 一直加到a 若無窮數列S 為收斂數列 且其極限為 limit n趨近於無限大 S 的極限等於S 則稱此無窮級數為收斂級數 它的和為S 即a 加a 加a 一直加到a 加到無窮多項 等於limit n趨近於無限大 S 等於S 我們分別舉幾個例子 來了解無窮級數的極限 例如若要探討無窮級數 sigma k等於1到無限大 k分之1減k加1分之1 是否收斂 我們先假設有限級數 S 等於sigma k等於1到n k分之1減k加1分之1 接下來我們將k從1 2 3依此類推 一直到n 代入k分之1減k加1分之1 可以得到1分之1減2分之1 加上2分之1減3分之1 加上3分之1減4分之1 依此類推一直加到 n分之1減n加1分之1 然後我們可以發現 在這個式子中 2分之1可以消掉 同樣的後面的3分之1 4分之1 一直到n分之1都可以消掉 消完後只剩最前面的1分之1 減去最後面的n加1分之1 通分相減後就可以得到 S 等於n加1分之n 而我們一開始的問題 sigma k等於1到無限大 k分之1減k加1分之1 是否收斂 就是檢驗limit S n趨近於無限大 是否收斂 又limit n趨近於無限大 S 等於limit n趨近於無限大 n加1分之n 最後我們根據之前無窮數列的極限所學 limit n趨近於無限大 n加1分之n 收斂到1 也就是limit n趨近於無限大 S 的極限等於1 也就是無窮級數sigma k等於1到無限大 k分之1減k加1分之1 收斂到1 範例一 已知級數S 等於 n平方分之1加n平方分之2 加n平方分之3 一直加到n平方分之n 試求無窮級數 limit n趨近於無限大 S 的值 首先我們來複習一下 1加2加3一直加到n的和為 2分之n乘以括號n加1 所以S 等於 n平方分之1加n平方分之2 加n平方分之3 一直加到n平方分之n 我們將每一項的n平方分之1提出去 得到n平方分之1乘上 1加2加3一直加到n 接下來1加2加3一直加到n 為2分之n乘以括號n加1 得到n平方分之1乘以 2分之n乘以括號n加1 最後得到S 等於 2n平方分之n平方加n 所以無窮級數 limit n趨近於無限大 S 的值 就等於limit n趨近於無限大 2n平方分之n平方加n 也就是2n平方分之n平方加n中 n平方的係數比值 也就是limit n趨近於無限大 S 的極限等於2分之1 因此無窮級數 limit n趨近於無限大 S 收斂至2分之1 剛剛看的例子 sigma k等於1到無限大 k分之1減k加1分之1 與limit n趨近於無限大 n平方分之1加n平方分之2 加n平方分之3 一直加到n平方分之n 都是收斂級數的例子 接下來來看一些發散級數的例子 例如無窮級數sigma k等於1到無限大 -1的k次方是否收斂 我們一樣先觀察有限級數S 等於sigma k等於1到n -1的k次方是否收斂 我們將k從1 2 3一直到n 代入-1的k次方 可以得到S 等於-1加1加-1加1 依此類推 一直加到-1的n次方 然後我們可以發現在這個式子中 若n為奇數 其和為-1 但若n為偶數 其和為0 也就是當n趨向無限大時 sigma k等於1到無限大 -1的k次方 在-1與0之間來回跳動 與無窮數列的概念一樣 我們仍然稱這種來回跳動的無窮級數 其極限不存在 也就是說級數sigma k等於1到無限大 -1的k次方為發散級數 事實上發散級數與發散數列的情況相同 較常見的為趨近於無限大 負無限大 來回跳動 其他還有很多種 但在這裡我們無法一一列舉完畢 重點二 無窮級數的發散 給定無窮級數 a 加a 加a 一直加到a 一直加到無窮多項 並令其前n項和為S 即S 等於a 加a 加a 一直加到a 若無窮數列S 為發散數列 則稱此無窮級數為發散級數 其和不存在 範例二 從下列各選項中 選出所有的發散級數 sigma k等於1到無限大 1 sigma k等於1到無限大 -2的k次方 第題 limit n趨近於無限大 n的3次方分之1 加n的3次方分之2 加n的3次方分之3 一直加到n的3次方分之n 解答 第個選項 sigma k等於1到無限大 1 等於1加1加1 一直加到無窮多項 而無窮多個1相加 其和會趨近於無限大 因此sigma k等於1到無限大 1 為發散級數 第個選項 sigma k等於1到無限大 -2的k次方 等於-2加-4加-8 一直加到-2的n次方 加到無窮多項 很明顯的其和會趨近負無限大 因此sigma k等於1到無限大 -2的k次方 為發散級數 第題 首先n的3次方分之1 加n的3次方分之2 加n的3次方分之3 一直加到n的3次方分之n 等於n的3次方分之1乘上括號 1加2加3一直加到n 再利用1加2加3一直加到n的公式 使得這個式子等於n的3次方分之1 乘上括號2分之n乘以括號n加1 乘開後等於2n的3次方 分之n平方加n 因此limit n趨近於無限大 n的3次方分之1 加n的3次方分之2 加n的3次方分之3 一直加到n的3次方分之n 等於limit n趨近於無限大 2n3次方分之n平方加n 也就等於0 因此選項為發散數列 重點整理 無窮數列的收斂與發散 給定無窮級數a 加a 加a 一直加到a 加到無窮多項 並令其前n項和為S 即S 等於a 加a 加a 一直加到a 若無窮數列S 為收斂數列 且其極限為 limit n趨近於無限大 S 的極限等於S 則稱此無窮級數為收斂級數 它的和為S 即a 加a 加a 一直加到a 加到無窮多項 等於limit n趨近於無限大 S 等於S 若無窮數列S 為發散數列 則稱此無窮級數為發散級數 其和不存在 本部影片我們對無窮級數的極限 有了初步的了解 而範例中的發散級數 sigma k等於1到無限大 1 與sigma k等於1到無限大 -2的k次方 剛好是無窮等比級數 而接下來的影片 我們將介紹無窮等比級數的極限 是不是所有的無窮等比級數都發散呢 還是在滿足什麼樣的條件下 無窮等比級數會收斂呢 以上的問題將是我們接下來影片的重點 請大家拭目以待喔