在進入本單元的內容 無窮等比級數的收斂判定之前 我們先複習一下之前所學習的 等比級數的內容 我們曾經看到過這樣的問題 已知一等比級數的首項128 公比為2分之1 試求此等比級數前5項的和S 由題意可知 此等比數列的第一項為128 第2項為128乘以2分之1 等於64 以此類推 可以得到此等比級數前5項的和 S 等於128加64加32加16加8 在項數不多的時候 我們可以慢慢加 求得S 等於248 而當項數過多的時候 我們可以利用之前所學的 等比級數的公式求和 我們再來複習一下 等比級數的和 若首項為a 公比為r的等比級數 前n項的和 S 等於a加ar加ar平方 一直加到ar的n減1次方 等於1減r分之a 乘以括號1減r的n次方 當r不等於1時 等於na 當r等於1時 以上是我們之前學過的 等比級數的和之內容 如果將級數128加64加32加16加8 再一直加下去 加到無窮多項的話 我們可以思考兩個問題 第一這個無窮等比級數 有可能收斂嗎 第二如果收斂的話 會收斂到哪裡呢 針對上述關於無窮等比級數的問題 我們先看一個簡單的例子 桌上有一個長度為1的法國麵包 小明每次取走所剩麵包長度的一半 也就是第一次取走2分之1 第二次再取走4分之1 他共取了2分之1加4分之1 如此繼續下去 小明會再取得8分之1 16分之1 如畫面所示 若小明取麵包的次數有無限多次 所得麵包長度總和可記作 2分之1加4分之1加8分之1 一直加到2分之1的n次方 以此類推加到無窮多項 很明顯地他會逐漸拿走整塊麵包 因此直觀上 取走的無窮多次麵包的長度 總和為1 是合理的 也就是說 無窮等比級數2分之1加4分之1加8分之1 一直加到2的n次方分之1 以此類推加到無窮多項 收斂到1是合理的 那麼要怎麼求無窮等比級數的值呢 我們利用等比級數求和的公式得知 S 等於a加ar加ar的平方 一直加到a乘上r的n減1次方 當r不等於1時 其和為1減r分之 a乘上括號1減r的n次方 而當r等於1時 其和為n乘以a 所以無窮等比級數 就是等比級數 a加ar加ar平方 一直加到ar n減1次方的n 趨近於無窮多項 也就是無窮等比級數 a加ar加ar平方 一直加到ar的n減1次方 以此類推加到無窮多項 等於等比級數S 加上limit n趨近於無限大 也就是limit n趨近於無限大 S 等於 當r不等於1時 limit n趨近於無限大 1減r分之 a乘以括號1減r的n次方 當r等於1時 等於limit n趨近於無限大 na 根據r的範圍討論如下 當r不等於1時 當r大於-1小於1時 因為limit n趨近於無限大 r的n次方等於0 所以limit n趨近於無限大 S 等於limit n趨近於無限大 1減r分之 a乘以括號1減r的n次方 等於1減r分之a 乘上limit n趨近於無限大 1減r的n次方 等於1減r分之a 乘上1減0 等於1減r分之a 當r小於等於-1或r大於1時 因為數列r的n次方為發散數列 所以此無窮等比級數的和不存在 r等於1 此時S 等於na 因為數列S 等於數列na 為發散級數 所以此無窮等比級數的和不存在 將以上的討論整理如下 無窮等比級數的和 首項為a 其中a不等於0 公比為r r不等於0的無窮等比級數為 a加ar加ar的平方 一直加到ar的n減1次方 以此類推加到無窮多項 當r大於-1小於1時 此無窮等比級數為收斂級數 其和為S等於1減r分之a 當r小於等於-1或r大於等於1時 此無窮等比級數為發散級數 其和不存在 而之前所舉的法國麵包例子 無窮等比級數 2分之1加4分之1加8分之1 一直加到2的n次方分之1 以此類推加到無窮多項 首項a等於2分之1 公比r等於2分之1 利用1減r分之a的公式代入 就可以得到其總合會收斂到 1減2分之1分之2分之1 也就是1 這一個概念的內容量較大 我們先針對 當公比r大於-1小於1時 無窮等比級數的和收斂到1減r分之a 也就是1減公比分之首項的概念 來看幾個例子 範例1 求下列各收斂無窮等比級數的和 第題 128加64加32加16加8 以此類推加到無窮多項 第題 2減3分之2加9分之2減27分之2 以此類推加到無窮多項 解答 第題 此為首項a等於128 公比r等於2分之1的 無窮等比級數 因為公比r等於2分之1 滿足r大於-1小於1 所以此無窮等比級數收斂 且其和為S等於1減r分之a 等於1減2分之1分之128 等於256 第題 此為首項a等於2 公比r等於-3分之1的 無窮等比級數 因為公比r滿足r大於-1小於1 所以此無窮等比級數收斂 且其和為S等於1減r分之a 等於1減-3分之1分之2 等於2分之3 以上是收斂無窮等比級數求和的問題 接下來我們針對 當公比r大於-1小於1時 無窮等比級數的和才會收斂的概念 來看以下的例子 範例2 無窮等比級數1加括號1減3x 加括號1減3x的平方 加括號1減3x的三次方 以此類推加到無窮多項 其中x不等於3分之1 為收斂級數 試求x的範圍 解答 無窮等比級數1加括號1減3x 加括號1減3x的平方 加括號1減3x的三次方 以此類推加到無窮多項 的公比r為1減3x 又因為公比不能為0 所以x不等於3分之1 接下來根據題意 此無窮等比級數收斂 因此公比r大於-1小於1 也就是1減3x大於-1小於1 接下來我們只需要解x的範圍即可 我們將此式全部都減1 得到-3x大於-2小於0 再將整個式子除以-3 得x的範圍為 x大於0小於3分之2 但x不等於3分之1 接下來我們針對 當r大於-1小於1時 此無窮等比級數為收斂級數 其和為S等於1減r分之a 當r小於等於-1或r大於等於1時 此無窮等比級數為發散級數 其和不存在的概念 來看以下的例子 範例3 判斷下列各無窮等比級數 為收斂或發散級數 若為收斂級數求其和 第題 64分之1減32分之1 加16分之1減8分之1 以此類推加到無窮多項 第題 5加5加5加5 以此類推加到無窮多項 第題 9分之16加3分之4 加1加4分之3 以此類推加到無窮多項 解答 此為首項a等於64分之1 公比r等於-2的無窮等比級數 因為公比r等於-2 沒有滿足r大於-1小於1 所以此無窮等比級數發散 第題 此為首項a等於5 公比r等於1的無窮等比級數 因為公比r等於1 沒有滿足r大於-1小於1 所以此無窮等比級數發散 我們將這題跟以前的 無窮等比數列做個比較 無窮等比級數5加5加5加5 一直往後加會發散 無窮等比數列5 5 5 5依此類推 會收斂 這是無窮等比級數 與無窮等比數列 同時在公比r等於1的情況下 所得到的不同結論 同學要特別的留意喔 第題 此為首項a等於9分之16 公比r等於4分之3的 無窮等比級數 因為公比r等於4分之3 滿足r大於-1小於1 所以此無窮等比級數收斂 且其和為S等於1減r分之a 等於1減4分之3分之9分之16 等於9分之64 生活中有滿多無窮等比級數的例子 下一個影片 我們會將無窮等比級數 與圖形面積做一個結合 請同學拭目以待喔