我們在之前的單元已經學過 首項為a a不等於0 公比為r r不等於0的無窮等比級數 a加ar加ar平方 一直加到arn減1次方 依此類推加到無窮多項 當r大於-1小於1時 此無窮等比級數收斂 且和為1減r分之a 如右圖1 正方形A 是由正方形A 的面積 縮小4分之1倍後 再經過平移旋轉所得到 而其餘正方形A A 依此類推 也依相同的規律一直下去 到無窮多個 若A 的面積為4 試回答下列問題 第題 A 的面積為何 第題 無窮多個正方形的面積總和為何 第題 A 的周長為何 第題 無窮多個正方形的周長總和為何 從題目可知 這些正方形都是由上一個正方形 等比例縮小 因此正方形面積 會是一個等比數列 而邊長 周長也是等比數列 第題 正方形的面積為首項4 公比r 等於4分之1的等比數列 所以A 的面積等於A 的面積 乘以r 的三次方 等於4乘以4分之1的三次方 等於16分之1 第題 因為r 等於4分之1 大於-1小於1 所以無窮多個正方形的面積總和為 1減4分之1分之4 等於3分之16 第題 因為面積比等於邊長平方比 所以邊長比為1比2 也就是周長比值r 等於2分之1 又A 的面積為4 A 的邊長為2 A 的周長為8 所以A 的周長等於A 的周長 乘以r 的三次方 等於8乘以2分之1的三次方 等於1 第題 因為r 等於2分之1 大於-1小於1 所以無窮多個正方形的周長總和為 1減2分之1分之8 等於16 上述例題從題意可以很明顯的得知 眾多的正方形面積或周長 為一個等比數列 因此我們可以利用等比數列 與等比級數的概念 去求第n個正方形面積或周長 或者求前n個正方形面積 或周長的總和 甚至若此等比數列的公比r 大於-1小於1時 我們也可以利用無窮等比級數概念 求出無窮多個正方形的面積 或周長的總和 接下來我們來欣賞另一個幾何圖形吧 如圖三角形ABC為直角三角形 線段AB等於4 線段AC等於3 在三角形ABC中連續作正方形 S S 依此類推 很明顯的 我們可以看出正方形S S 依此類推 面積越來越小 但這些正方形是否等比例縮小呢 首先我們可以觀察到 畫面中紅色三角形皆為一頂角 與角B相等的直角三角形 也就是這些三角形 與三角形ABC都相似 接下來我們假設S 的邊長x S 的邊長y S 的邊長z 再利用相似三角形對應邊 成比例的性質 可以得到這些相似三角形 兩股的比例都相等 也就是三角形ABC的兩股比 線段AC比線段AB的比值 等於4分之3 與三角形A 的兩股比相等 也就是線段AC比線段AB的比值 等於4分之3 等於x分之3減x 又其餘紅色三角形也相似 所以線段AC比線段AB的比值 等於4分之3 等於x分之3減x 等於y分之x減y 等於z分之y減z 我們可以得到4分之3等於 下一個正方形邊長分之 正方形邊長減下一個正方形邊長 的關係式 事實上像這種在三角形中 連續作正方形的圖形 所成的每一個正方形 其邊長會是等比例縮小的 同學若有興趣 可以將剛剛的邊長x y z 求出來並驗證x y z為等比數列 目前來看 如果要得到正方形縮小的比例r 那我們至少要求出x與y的值 才可以得到縮小比例為 r等於x分之y 在這裡我們提供一個更簡易的方法 我們知道在圖形中 越右邊的正方形會等比例縮小 反過來說 我們將左邊等比例放大的正方形 S 也畫出來的話 就可以明顯的發現 我們想求的比例r 也就是等於S 與S 的邊長比的比值 也就是線段AC分之x 因此當我們遇到這種問題的時候 只需求出S 的邊長 就可知道正方形縮小的比例了 我們針對這個概念 來練習一個例題吧 如圖三角形ABC為直角三角形 線段AB等於4 線段AC等於2 在三角形ABC中連續作正方形S S 依此類推 則所有正方形的面積和為何 解答 假設正方形S 的邊長為x 三角形ABC 三角形A B C 為相似三角形 由線段AC比線段AB 等於線段A C比線段A B 得到4分之2 等於x 分之2減x 也就是x 等於3分之4 又S S 依此類推的面積 形成無窮等比數列 其邊長比的比值為x 分之x 也等於線段AC分之x 得到2分之3分之4 等於3分之2 而面積比又等於邊長的平方比 所以得到面積比的比值為 3分之2的平方 等於9分之4 因此S 加S 一直往下加的面積和 為首項為3分之4的平方 公比為9分之4的無窮等比級數 其總和為1減9分之4 分之3分之4的平方 等於5分之16 以上就是無窮等比級數 在幾何問題的應用 當我們發現若圖形是以等比例縮小 那麼我們只需要知道 第一個圖形的面積 及縮小的比例r 其中r大於-1小於1 就可以利用無窮等比級數的和 為1減r分之a的概念 得到無限多個圖形面積的總和 接下來我們來欣賞幾個 同樣也是等比例縮小的幾何圖形 已知正方形ABCD 連接四邊的中點 得第二個正方形 再連接第二個正方形四邊中點 得第三個正方形 重複以上步驟 就可以得到像畫面中的美麗圖案 有興趣的同學可以也思考一下 在這裡一直畫下去的正方形 其邊長為何呢 有一個面積為4的正方形 依以下的步驟將其分割著色 第1步驟 將其等分成4個小正方形 並將左下角的正方形塗上黑色 第2步驟 將剩下3個正方形 再分別等分成4個 更小的正方形 並將左下角的正方形塗上黑色 依照這樣的規律繼續分割著色下去 我們也可以看到 像畫面上有規律的美麗圖案 有興趣的同學可以也思考一下 在這裡一直畫下去 到無窮多個的著色正方形 其面積總和為多少了呢 以上的這些圖形我們發現 每一部分都是整體縮小後的形狀 而數學上所稱的碎形 也是從這個概念所發展出來的 以下我們來欣賞幾個常見的碎形藝術吧 瑞典數學家科赫 在1904年介紹一種曲線的作法 取邊長為1的正三角形為T 以T 每邊中間3分之1的線段為一邊 向外作正三角形後 然後將該3分之1線段抹去 可得多邊形T 重複以上步驟如此繼續下去 就可以得到看起來像雪花的圖案 我們稱之為科赫雪花 取一個面積為1的正三角形 將其等分成四個 小的全等正三角形 並將中間的三角形塗黑 得到圖1 接著再將剩下三個 未塗色的小正三角形 分別等分成四個更小的 全等正三角形 並將中間的三角形塗黑 得到圖2 重複以上步驟如此繼續下去 所得到的圖形 我們稱為謝爾賓斯基三角形 碎形藝術的美 常讓許多人著迷 位於台灣的台南美術館2館 其碎形屋頂的概念 就是由上述謝爾賓斯基三角形所發想 而整片的謝爾賓斯基三角形 所做成的屋頂 為台南美術館二館 營造了輕盈但又活潑的光影變化 為許多人喜愛的拍照打卡景點 畫面中為成功高中的林老師 所拍攝的屋頂近照 同學也可以欣賞一下這個碎形屋頂 並觀察它與謝爾賓斯基三角形 的相似之處 而下次到台南遊玩時 也可以到美術館 看看這個美麗的碎形屋頂喔