我們在之前的單元已經學過 首項為a a不等於0 公比為r r不等於0的無窮等比級數 a加ar加ar平方 一直加到arn減1次方 一直加加到無窮多項 當r大於-1小於1時 此無窮等比級數收斂 且和為1減r分之a 而上部影片我們也利用 無窮等比級數的和 求幾何圖形的面積總和 接下來我們會利用一樣的概念 來解決循環小數的問題 取球機率問題 首先我們來複習一下 循環小數的概念 循環小數0.241 其中41循環 要先注意的是 這裡的循環節 也就是0.241上的橫線 只有41在橫線裡 而2並不在橫線裡 因此這個循環小數 只有41會不斷的循環下去 也就等於0.241414141 一直下去 同樣的道理 我們將0.3126 其中26循環 代表的小數就是0.3126262626 一直26下去 而如果我們將每一個26拆開 可以將0.3126 其中26循環 寫成0.31加0.0026 加0.000026 加0.00000026 一直往後加 我們會發現後面的 0.0026加0.000026 加0.00000026往後加 是一個無窮等比級數 也就是可以利用無窮等比級數的概念 將0.3126 26循環 化為分數 我們來看一下以下的範例 將下列各循環小數化成分數 第題 0.13 其中13循環 第題 0.204 其中4循環 解答 第題 循環小數0.13 其中13循環 等於0.13131313 等於0.13加0.0013 加0.000013一直往後加 此為首項a等於0.13 公比r等於0.01的無窮等比級數 因為公比r滿足r大於-1小於1 所以其和為 s等於1減r分之a 等於1減0.01分之0.13 等於0.99分之0.13 等於99分之13 故0.13 其中13循環 等於99分之13 第題 0.204 其中4循環 等於0.20444444依此類推 等於0.2加括號0.004 加0.0004 加0.00004往後加 後面括號裡為首項a等於0.004 公比r等於0.1的無窮等比級數 因為公比r滿足r大於-1小於1 所以其和為0.2加上1減0.1分之0.004 等於10分之2加900分之4 等於900分之184 等於225分之46 根據範例一可以知道 任何的循環小數 都可以利用無窮等比級數的概念 將它化成分數的形式 也就是任何的循環小數 都是有理數 以上就是我們利用無窮等比級數的概念 將循環小數化為分數的作法 在這裡我們再提供一個 將循環小數化為分數的作法 舉一個簡單的例子 x等於0.13 其中13循環 也就是0.1313131313 因為是無窮小數 不能像有限小數 可以把它直接化為100分之多少 或1000分之多少之類的 但是如果我們將它乘上100倍 得到100x等於13.1313131313後 再將畫面上第式減掉第式 左邊會變成99x 而右邊的部分 同學可以觀察一下 原本式的右邊都是無窮小數 但第式減掉第式後 小數點後的0.1313131313 剛好會消掉 最後只等於13 因此得到99x等於13這個式子 也就是x等於0.13 其中13循環 等於99分之13 這就是將循環小數 化為分數的另一種方法 我們再回頭看看剛剛的算式 同學再將整個算式看一遍 然後想想 為什麼我們要乘上100倍呢 這個概念在範例1也有用到 0.13 其中13循環 等於0.131313依此類推 等於0.13加0.0013 加0.000013往後加 可以知道小數點後的每個13 都是下個13的100倍 所以當我們將0.13 其中13循環 等於0.131313 以此類推 等於0.13加0.0013 加0.000013往後加 乘上100倍後 會得到13.131313 以此類推 跟上面的0.13 其中13循環比起來 除了多了13之外 其他的0.13加0.0013 加0.000013往後加都一樣 所以在經過兩式相減以後 小數點後一直重複的13就會被消去 而這個乘上倍數再相減的作法 也適用在一些跟等比有關的問題上 我們來看幾個例子 試求1乘以5分之1 加3乘以5分之1的平方 加5乘以5分之1的三次方 加7乘以5分之1的四次方 一直往後加 加到括號2n減1 乘上5分之1的n次方 往後加的值 我們先觀察這個式子的前三項 1乘以5分之1 3乘以5分之1的平方 5乘以5分之1的三次方 就可以發現此級數不是等差也不是等比 但如果將每一項拆成前面紅色部分 1 3 5依此類推 與後面的藍色部分 5分之1 5分之1的平方 5分之1的三次方 依此類推 可以發現紅色的1 3 5依此類推 成等差 後面藍色的5分之1 5分之1的平方 5分之1的三次方 依此類推 成等比 遇到這樣的問題 我們可以利用上述所提的 乘上倍數再相減的做法 先假設x等於1乘以5分之1 加3乘以5分之1的平方 加5乘以5分之1的三次方 加7乘以5分之1的四次方 一直往後加 然後乘上5倍 得到5x等於1加3乘以5分之1 加5乘上5分之1的平方 加7乘上5分之1的三次方 一直往後加後 再將畫面上第式減掉第式 左邊會變成4x 右邊的部分變成 1加2乘以5分之1 加2乘以5分之1的平方 加2乘以5分之1的三次方 一直往後加 而右邊的部分在1後 是一個首項為2乘以5分之1 且公比為5分之1的無窮等比級數 因此可以得到4x等於 1加1減5分之1分之 2乘以5分之1 也就是等於1加2分之1 等於2分之3 因此x等於8分之3 已知袋中有大小相同的紅球1顆 黑球3顆 今從袋中隨機抽取1球 若取到黑球 將球放回再抽球1次 直到取出紅球才停止 試求取球次數的期望值 要求取球次數的期望值 我們先做出畫面上的表格 第一列為取球的次數X 最少可以是１次就取到紅球 然後可能2次3次 而在運氣非常差都只取到黑球的情況下 最多可能要取到無限多次 而相對應的機率分別為 第一次就是紅球 其機率為4分之1 若第2次才為紅球 也代表第1次要黑球 其機率為第一次黑球的機率4分之3 乘上第2次紅球的機率4分之1 也就是4分之3乘上4分之1 同理第3次才取到紅球的機率為 4分之3乘上4分之3乘上4分之1 以此類推 因此取球次數的期望值為 1乘以4分之1加2乘以4分之3 乘以4分之1 加3乘4分之3乘4分之3 乘4分之1 一直往後加 而這個式子跟例題2類似 都是前面紅色1 2 3以此類推成等差 後面藍色4分之1 4分之3乘4分之1 4分之3乘4分之3乘4分之1 以此類推成等比的級數 因此我們將此式乘上3分之4倍 得到3分之4倍的期望值 等於1乘以4分之1乘3分之4 加2乘以4分之1 加3乘以4分之3乘4分之1 以此類推 再跟第一個式子相減 得到3分之1的期望值 等於1乘以4分之1乘3分之4 加1乘以4分之1 加1乘以4分之3乘4分之1 以此類推 也就等於1乘以4分之1乘以3分之4 加上1減4分之3分之1乘以4分之1 等於3分之1加1 等於3分之4 也就是期望值等於4 以上就是利用無窮等比級數的概念 討論循環小數的問題 與取球機率問題 而對於一些與等差等比相似的問題 利用乘上倍數再相減的運算技巧 也是這部影片的重點 同學們有沒有都記住了呢