高一學過利用數學歸納法 可以證明對於所有的正整數n 相關的敘述都是正確的 例如可以證明對於所有的正整數n 1平方加2平方一直加到n平方 等於6分之n乘以括號n加1 乘以括號2n加1恆成立 這個影片我們要先回顧 高一學過的數學歸納法 然後再將數學歸納法 應用在無窮數列的比較 首先我們先複習一下 數學歸納法原理 對於某一個與正整數有關的數學敘述 只要滿足下面兩件事 當n等於1時 數學敘述為真 設n等於k時 數學敘述為真 可推得n等於k加1時 數學敘述亦為真 此數學敘述對於所有的正整數n都為真 利用數學歸納法 證明對於所有的正整數n 級數和1平方加2平方一直加到n平方 等於6分之n乘以括號n加1 乘以括號2n加1恆成立 首先我們先看看當n等於1時 這個式子是否正確 當n等於1時 左邊的式子就只有一個數字的平方 也就是1平方 算出來等於1 右邊的式子我們將n帶入 得到6分之1乘以括號1加1 乘以括號2加1 算出來也是等於1 因為左邊的式子與右邊的式子 算出來相等 所以原式成立 接著我們要設n等於k時式子成立 並藉此推導出 n等於k加1時 式子亦成立 因此設n等於k時 原式成立 也就是說1平方加2平方一直加到k平方 會等於6分之k乘以括號k加1 乘以括號2k加1 再來我們要看看n等於k加1時 式子會不會也成立 所以當n等於k加1時 左邊的式子會變成 1平方加2平方一直加到k平方 加括號k加1的平方 這時候我們要利用 1平方加2平方一直加到k平方 等於6分之k乘以括號k加1 乘以括號2k加1來進行推導 因為1平方加2平方一直加到k平方 等於6分之k乘以括號k加1 乘以括號2k加1 所以式子可以化成 6分之k乘以括號k加1 乘以括號2k加1 加上括號k加1的平方 通分得到6分之括號k加1 乘以括號k乘以括號2k加1 加6乘以括號k加1 整理可得 6分之括號k加1 乘以括號2k平方加7k加6 將2k平方加7k加6因式分解後 式子變成6分之括號k加1 乘以括號k加2 乘以括號2k加3 等於6分之括號k加1 乘以括號k加1加1 乘以2倍的括號k加1加1 而這個式子跟右邊的式子 用n等於k加1代入 得到的結果一致 也就是說當n等於k加1時 原式也成立 故由數學歸納法知 對於所有的正整數n 級數和1平方加2平方一直加到n平方 等於6分之n乘以括號n加1 乘以括號2n加1恆成立 同學可以自行練習一下 無窮數列除了求極限外 比較數列的大小 也是一個重要的概念 特別是有些無窮數列 無法直接計算求得極限值的時候 其中一個方法 就可以利用比較數列的大小 再去看各自數列的極限 我們先來看一個例子 計算下表中數列2的n次方 以及數列n的平方各項的值 在剛剛的例子中 我們將兩個數列進行比較 同一項裡數字比較大的上色 這時候發現 從第4項以後 2的n次方都大於或等於 n的平方 而且兩者的差距愈來愈大 於是我們不禁猜測 對於所有正整數n大於等於4 不等式2的n次方 大於等於n的平方恆成立 但是如果要證明此猜測正確 仍然要使用前面複習提到的 數學歸納法進行證明 利用數學歸納法證明 當正整數n大於等於4時 不等式2的n次方 大於等於n的平方恆成立 因為這題的驗證範圍是n大於等於4 所以首先我們先看看 當n等於4時 這個不等式是否正確 當n等於4時 左邊的式子就是2的四次方 算出來等於16 右邊的式子就是4的平方 等於16 因為左邊的式子與右邊的式子 算出來相等 所以原式大於等於是成立的 接著我們要設n等於k時式子成立 並藉此推導出n等於k加1時 式子亦成立 因此設n等於k時 原式成立 也就是說2的k次方 會大於等於k的平方 再來我們要看看n等於k加1時 式子會不會也成立 所以當n等於k加1時 左邊的式子會變成 2的k加1次方 這時我們要利用2的k次方 大於等於k的平方來進行推導 所以先把2的k加1次方拆成 2乘以2的k次方 因為2的k次方大於等於k的平方 所以式子會大於等於2k平方 而這時右邊的式子會是 括號k加1的平方 展開得到k平方加2k加1 這時候如果我們想要比較 左邊的式子和右邊的式子誰比較大 有一個方法就是把它們相減 我們將左邊的式子減掉右邊的式子 得到2k平方減掉括號k平方加2k加1 等於k平方減2k減1 配方後可以得到 括號k減1的平方減2 因為k大於等於4 所以括號k減1的平方減2 會大於等於括號4減1的平方減2 等於7 因此左邊的式子大於或等於右邊的式子 也就是說當n等於k加1時 2的k加1次方大於等於括號k加1的平方 故由數學歸納法知 當正整數n大於等於4時 不等式2的n次方大於等於n平方恆成立 利用數學歸納法證明對所有的正整數n 不等式1加2分之1加3分之1 一直加到n分之1 大於等於2減n分之1恆成立 最後我們來重點整理一下 有些無窮數列無法直接計算 求得極限值的時候 其中一個方法就可以利用 比較數列的大小 再去看各自數列的極限 而這個影片我們利用了數學歸納法 來證明無窮數列比較大小這件事 這個影片我們利用了數學歸納法 來證明2個數列的比較大小 下一個影片我們將會介紹 當比較完大小之後 如何利用數列的比較大小 去求數列的極限 各位同學繼續加油吧