前一個影片我們提到

有些無窮數列無法直接計算

求得極限值的時候

其中一個方法就可以利用

比較數列的大小

再去看各自數列的極限

另外我們也利用了

數學歸納法來證明

2個數列的比較大小

這個影片我們將會介紹

如何利用數列的比較大小

來求數列的極限

有些數列的極限

無法利用之前直觀的方法

或數列極限的運算性質來求得

此時我們可以藉由

兩個數列來限制原數列的範圍

並以雙邊逼近的方式

求得原數列的極限

這個方法稱為數列的夾擠定理

我們以數列a b 與c 的散布圖

為說明的範例

假設綠色的點是數列a

藍色的點是數列b

紅色的點是數列c

雖然在第4項時

c 比a b 大

在第7項時

c 比a b 小

但是從第14項之後

每一項c 都介於a 與b 之間

當n愈來愈大

且a 與b 的值會愈來愈靠近L時

被夾在中間的c 也會愈來愈靠近L

也就是說

當數列a 與b 的極限都是L時

數列c 的極限也會是L

我們來整理一下

設無窮數列a b 與c

從某一項起均滿足

a 小於等於c 小於等於b

當n趨近於無限大時

a 的極限值與b 的極限值皆為L

那麼無窮數列c 也會收斂

而且數列c 的極限

也會與數列a 數列b 的極限一樣

會是L

接著來看一個例題

之前的影片我們提到過

對任意正整數n大於等於4

n的平方會小於等於2的n次方

我們可以利用這樣子數列的比較大小

來求limit n趨近於無限大

2的n次方分之n的值

首先我們將不等式同除以2的n次方

得到2的n次方分之n平方

小於等於1

再同除以n

得到0小於等於2的n次方分之n

小於等於n分之1

這時候我們就可以發現

數列2的n次方分之n

被數列n分之1與數列0夾住

而且因為當n趨近於無限大時

0的極限值為0

且當n趨近於無限大時

n分之1的極限值也為0

所以由夾擠定理我們得到

當n趨近於無限大時

2的n次方分之n的極限值為0

再來我們欣賞一個

夾擠定理經典的應用

以前的數學家在探討圓面積的時候

其中一個方法就是利用

內接正多邊形與外切正多邊形

去夾擠出圓面積

例如圓內接正三角形

會比圓的面積小

而圓外切正三角形

會比圓的面積大

圓內接正方形

會比圓的面積小

而圓外切正方形

會比圓的面積大

當邊數越來越多的時候

多邊形的面積就會越來越接近圓面積

藉此就可以去估計圓面積

也就可以估計出無理數π的近似值

阿基米德當時利用這樣的方法

計算到正96邊形

並估計出圓周率π的範圍

介在3又71分之10

與3又7分之1之間

這樣將π的準確度

正確到小數點以下第2位

現在我們有計算機的輔助

大家可以延伸阿基米德的想法

算到更多的正多邊形哦

當n大於等於3時

內接正n邊形面積小於等於圓面積

小於等於外切正n邊形面積

用數學式子來表示的話

2分之n sin n分之2π

小於等於π

小於等於n tan n分之π

分別將不同的n代入上式

並利用計算機求近似值

完成以下的表格

並估計更多位數的π

最後我們來重點整理一下

數列的夾擠定理

設無窮數列a b 與c

從某一項起均滿足

a 小於等於c 小於等於b

當n趨近於無限大時

a 的極限值與b 的極限值皆為L

那麼無窮數列c 也會收斂

而且數列c 的極限也會與

數列a b 的極限一樣

會是L

數列的夾擠定理就介紹到這裡

之後我們會把夾擠定理的概念

推廣到函數的夾擠定理

各位同學繼續加油吧