微積分研究對象正是函數 因此在探討微積分的概念前 必須先瞭解函數的概念 我們高一高二學過四種函數 多項式函數 指數函數 對數函數 三角函數等 這裡引進更抽象的函數概念 現在舉例子來認識什麼是函數呢 當你走進一家水果行 會看到每種水果標示了一公斤的價錢 換句話說 每種水果具有一種的價格 因此這正是一個函數的概念 代表水果定價是每種水果的函數 每一種水果會對應到一種價格 事實上一公斤的價錢a b c d元 有可能均相同 也可能均不同 或者有部分相同有部分不同 當a不等於b 不等於c 不等於d時 每一種水果對應不同的價格 如圖所示 此對應關係稱為一對一的對應關係 當a等於b等於c等於d時 每一種水果僅對應有一種價格 如圖所示 這不為一對一的對應 此對應關係稱為多對一的對應關係 例子告訴我們 函數不僅僅是一種一對一的對應關係 注意每種水果不能對應兩種的價格 這就違背常理了 高一介紹過函數的定義 同學們想一想什麼是函數的定義呢 設x y為兩個變數 若對於每一個x所取的值 都可以找到唯一一個y值與之對應 則稱y為x的函數 若用f代表這個函數 則此函數可以寫成y等於f 函數是一種特殊的對應關係 在數學世界裡 輸入函數一個數字 也只能輸出一個數字 輸入的數字以x表示 稱為自變數 輸出的數字以y表示 稱為應變數 我們可以把一個函數想像成一臺機器f 輸入x後 恰好輸出一個y 此函數記作y等於f 我們有了函數概念後 接下來就是以嚴謹的數學定義函數 底下利用集合觀點來定義函數 給定兩個非空集合A B 若滿足底下兩個條件 集合A中的每個元素x 都有對應集合B中元素 集合A中的每個元素x 都恰有集合B中1個元素y與之對應 從A映射到B的函數 如畫面所示記作 而x所對應的值記作f 舉例說明 圖中的對應關係滿足條件 即集合A中的元素1 2 都有集合B中元素對應 同時也滿足條件 即集合A中元素1 2 都恰有集合B中1個元素y與之對應 所以f1 f2皆為函數 但圖中對應關係不滿足條件 因為集合A中元素3 沒對應集合B中任何元素 所以f3不為函數 圖中對應關係不滿足條件 因為集合A中元素3 對應集合B中兩個元素b c 所以f4不為函數 是一對多的對應關係 故f4若為一對多的對應關係就不是函數 已經瞭解如何利用集合來定義函數後 現在來定義函數f的定義域 對應域及值域 前面提到若f的對應關係 滿足條件及條件 就是說f為從A映射到B的函數 我們定義f表示x在B中的對應元素 稱為函數f在x中的函數值 集合A稱為f的定義域 集合B稱為f的對應域 但要注意集合B中的元素 可能會沒被對應到 如圖中集合B中的元素b c 就沒有被對應到 全體函數值f所形成的集合 f其中x屬於A 稱為f的值域 它是B的子集 記作f 即f等於f其中x屬於A這個集合 包含於B 如圖所示 我們高一已經學過多項式函數 y等於x平方減2x加3 設y等於f等於x平方減2x加3 請寫出y等於f的定義域 對應域 值域 對於任意實數x 經過y等於f的對應法則 均可以得到相應的y 所以多項式函數 y等於f等於x平方減2x加3的定義域 為所有實數所成的集合 如圖所示 所以定義域為x 其中x屬於R 也可寫成R或區間 對應域可以是實數集合R 但從圖面上可知 值域為不小於2的實數所成的集合為y 其中y屬於R且y大於等於2 因為由配方可知 y等於x平方減2x加3 等於括號x減1的平方加2大於等於2 所以y為不小於2的實數 因此值域為y 其中y屬於R且y大於等於2 也可寫成區間2到無限大 我們高一也學過指對數函數 y等於10的x次方 及y等於log x 請寫出對數函數y等於10的x次方 及y等於log x的定義域 對應域 值域 同學們試著利用圖形求得 這兩個函數的定義域 對應域 值域 y等於10的x次方的定義域為R 對應域為R 值域y屬於R且y大於0 y等於log x 的定義域為 x屬於R且x大於0 對應域為R 值域為R 利用集合來定義函數 給定兩個非空集合A B 若滿足底下兩個條件 集合A中的每個元素x 都有對應集合B中的元素 集合A中的每個元素x 都恰有集合B中1個元素y與之對應 此種對應法則則稱 f稱為從A映射到B的函數 如畫面所示記作 而x所對應的值記作f f表示x在B中的對應元素 稱為函數f在x的函數值 集合A稱為f的定義域 集合B稱為f的對應域 全體函數值f所形成的集合 稱為f的值域 前面例子告訴我們 函數不僅僅是一種一對一函數 也可能是多對一函數 底下就來探討甚麼是一對一函數呢 甚麼是一對一函數呢 若用前面的例子來說 不同水果不能對應相同價錢 設f為A映射到B的函數 且x x 屬於A 若x 不等於x 則f不等於f 稱此函數f為一個 從A映射到B的一對一函數 one to one 底下圖及圖中的函數 g h均為一對一函數 同學們有對一對一函數瞭解了嗎 在探討微積分的概念前 必須先瞭解函數的概念 因為微積分研究對象正是函數 也可以說函數是進入高等數學 必備學習的重要概念 函數就是兩集合之間的對應關係 當我們要探討兩集合之間有豐富性質時 就代表此函數具有豐富的性質 看完這單元後 各位同學有對函數的概念 有所領略了嗎 下一個單元會介紹一些函數圖形 敬請各位拭目以待喔