前一個單元學習函數的概念 這單元要介紹函數圖形 微積分研究對象正是函數 包含多項式函數 指數函數 對數函數 三角函數 分式函數 絕對值函數 分段函數 高斯函數 合成函數 前四個函數高一高二學過 其餘會在學習微積分前陸續介紹 微積分談到函數圖形的大致上有七個特徵 對稱性 奇偶性 增減性 與兩軸交點 極值 凹口性 漸近線 這單元從學過的一次 二次 及三次多項式函數的單項函數 探討函數圖形的對稱性及奇偶性 同學們什麼是多項式函數呢 多項式函數是指形如 f等於a 的xn次方 加a 乘以x的n減1次方 一直加到a 的函數 其中n為非負整數 且a a a 一直到a 為實數 甚麼是函數圖形呢 對於函數y等於f 令x為橫坐標 f為縱坐標 則在坐標平面上所有可能的點 )所形成的集合 則稱函數圖形 重要性質 由函數定義可知在定義域中的 每一個x只能得到一個y值 因此每條鉛垂線至多 只能與函數圖形有一個交點 在平面上以x為自變數 且y為應變數 請判斷下列哪些是函數圖形呢 提示 作x軸的鉛垂線 若每條鉛垂線與圖形的交點 不超過一點即為函數圖形 答案 如圖所示選 進一步說明課前測驗中 選項的函數為何 不是多項式函數呢 有哪些是多項式函數的圖形特徵呢 多項式函數是指形如上的函數 底下就由此定義來判斷選項 的函數為何不是多項式函數呢 f 等於2的x的x次方 其中x大於0且x不等於1 因為x在次方違背非負整數條件 所以不是多項式函數 f 等於根號x加1 x在根號內 因為根號x加1等於 括號x加1的2分之1次方 又2分之1不為整數 違背非負整數的條件 所以不是多項式函數 是根號函數 f 等於x分之1 x在分母 因為x分之1等於x的-1次方 又-1為負整數 違背非負整數條件 所以不是多項式函數 是分式函數 f 等於x減1的絕對值 x在絕對值符號內 顯然定義的形式不吻合多了絕對值 所以不是多項式函數 是絕對值函數 以上例子是由x的位置粗略判定 是否為多項式函數 多項式函數的判定 經過化簡之後所得的多項式函數 此函數中的x一概不在 次方 分母 根號內 或絕對值符號內 並且它是一個有限項的和 一般而言 多項式函數的圖形都有共同特徵 定義域為區間 即x的範圍為所有實數 圖形為平滑連續的圖形 例如 f等於x的5次方減5x的3次方加4x的圖形 為平滑連續的圖形 若不符合上述與 就一定不是多項式函數 如前面所提到的f 等於x減1的絕對值 由圖所示可知當x等於1時有尖點 所以圖形不平滑 因此此圖形不為多項式函數 由函數圖形的特徵來判斷不為多項式函數 此方式也可應用於別種函數圖形的判定 接著我們來複習曾經於高一學過 一次 二次及三次函數圖形的對稱性 及奇偶性 奇函數與偶函數的定義 若f等於f 則稱f為偶函數且圖形必對稱於y軸 若f等於-f 則稱f為奇函數且圖形必對稱於原點 以y等於ax y等於ax平方 及y等於ax3次方為例 y等於ax的圖形是一直線 由a決定直線傾斜的方向及程度 y等於ax平方的圖形是拋物線 由a決定拋物線凹口的方向及大小 y等於ax3次方的圖形是曲線 由a決定曲線的遞增或遞減 f等於ax的圖形由圖可知 為點對稱的圖形 對稱中心為原點 此時每個x均滿足f等於-f 此函數稱為奇函數 y等於ax平方的圖形 由圖可知為軸對稱的圖形 對稱軸為y軸 此時每個x均滿足f等於f 此函數稱為偶函數 y等於ax3次方的圖形 由圖可知y等於ax3次方為點對稱的圖形 對稱中心為原點 此時每個x均滿足f等於-f 所以為奇函數 現在說明 第一當a不等於0 f等於a乘以x的3次方為奇函數 第二當a不等於0 f等於a乘以x平方為偶函數 同學思考以下兩個問題 兩個奇函數的相加為奇函數嗎 一個奇函數的任意常數倍亦為奇函數嗎 以上兩個問題答案都是正確的 同學們試著證明看看 函數的奇偶性 在數學分析的許多領域中都很重要 底下問題都是奇偶性延伸思考的有趣性質 由奇函數與偶函數的定義 即可證得以上性質 不妨試一試 微積分研究對象正是函數 而多項式函數是最常見的函數之一 因為多項式函數皆為連續函數 所以多項式函數 都可以談微積分中所有重要定理 所以學習微積分從多項式函數開始著手 是最能達到學習的效果 每種函數圖形的特徵都有所不同 接下來的單元要介紹分式函數 絕對值函數 分段函數 高斯函數 合成函數 請各位拭目以待喔