複習前面單元已經學到 利用對應關係來探討函數f的定義域 對應域及值域 考慮從A映射到B的函數f 如圖1所示 根據函數的定義可知 集合A稱為f的定義域 換言之定義域是指自變量 x的所有取值構成之集合或區間 當自變量x的取值個數有限時 則定義域不能表示成區間形式 而僅能表示成集合形式 如圖2所示 定義域為 集合B稱為f的對應域 全體函數值f所形成的集合 f其中x屬於A 稱為f的值域 記作f 即f等於集合f 其中x屬於A 包含於B 換言之值域是指函數值f的所有取值 所構成之集合或區間 定義域與值域表示方法相同 通常使用區間形式或集合形式表示 如圖2所示 對應域為集合a b c 及值域為集合a b 注意值域只是對應域的一個子集 即集合a b包含於集合a b c 同學們思考一下馬上公布答案 f等於x平方的定義域 為所有實數 且值域為非負實數 g等於log x的定義域 為正實數 且值域為所有實數 甚麼是多項式的分式函數呢 多項式的分式函數是指形如 f等於p分之q的函數 其中p q為最簡多項式 且p的次數不低於一次 再細分一次分式函數 其標準形式為 f等於ax加b分之cx加d 其中a不等於0 且ad不等於bc 例如f等於x加1分之2x加1 及f等於x加1分之1 而二次分式函數形如 f等於x平方加x加1分之x平方減x加3 f等於x平方加x加1分之x加3 f等於x平方加x加1分之1 皆為二次分式函數 這裡主要是探討 一次及二次分式函數的定義域及值域 函數的基本三要素是 定義域 值域及對應關係 前面單元是利用對應關係來看 函數的定義域及值域 事實上我們通常面對問題時 函數的定義域及值域 是會根據函數要解決的問題來定義 先從使函數有意義的一切實數 所組成的集合 來探討分式函數的定義域 因為分母等於0時分式函數無意義 所以分式函數要有意義 條件是分母不能為0 舉例說明 試求下列各分式函數的定義域 第題 f等於x平方減9分之x加1 第題 g等於x平方加2x加3分之x加1 解答 第題 因為分母不能為0 所以x平方減9不得為0 得到括號x加3乘括號x減3不等於0 推得x不等於3且x不等於-3 故函數的定義域為 集合x屬於R 且x不等於3 且x不等於-3 可以寫成三段區間聯集的表示方式 第題 由配方法知 分母x平方加2x加3 等於括號x加1的平方加2 大於2 一定不等於0 所以函數的定義域為實數 也就是區間負無限大到無限大 先探討最簡單的分式函數 f等於x分之1的圖形 列表取值時 注意x不等於0 以0為中心向兩邊對稱取值 即正負數各一半 注意到x y互為相反數 如圖3所示 由函數圖形可看出 除了y等於0以外的實數 都能被定義域中非0的x所對應 故分式函數f等於x分之1的值域 為集合y屬於R 其中y不等於0 也就是聯集 進一步探討分式函數 g等於x減2分之1 在區間的值域 g等於x減2分之1的圖形 為f等於x分之1的圖形 向右平移2單位而得 因為函數在區間的圖形遞減 所以只要求出端點 x等於2分之5及x等於5所對應的y值 得到當x等於2分之5時 y等於2分之5減2分之1 等於2 當x等於5時 y等於5減2分之1等於3分之1 故值域為集合y屬於R 其中y大於等於3分之1 小於等於2 也就是區間 分式函數的圖形 是可以利用微分來協助畫圖 但還沒有學到微分之前 是否有別的方式 求分式函數的值域呢 底下介紹三種方法 求分式函數的值域 試求分式函數f等於x減2分之x的值域 解答 將f等於x減2分之x拆解得到 f等於x減2分之x減2加2 等於x減2分之x減2 加上x減2分之2 等於1加x減2分之2 因為x減2分之2不等於0 所以f不等於1 故函數的值域為 集合y屬於R 其中y不等於1 也就是聯集 利用配方法或判別式法 求二次分式函數 f等於ax平方加bx加c分之d加e 其中a b c d皆為實數的值域 舉例說明 試求二次分式函數 f等於x平方加2x加3分之2的值域 解答 方法一 利用配方法可得 x平方加2x加3 等於括號x加1的平方加2 大於等於2恆成立 推得x平方加2x加3分之2 大於0小於等於2分之2等於1 故f大於0小於等於1 因此函數的值域為 集合y屬於R 其中y大於0小於等於1 也就是區間等於x平方加2x加3分之2 的值域為 集合y屬於R 其中y大於0小於等於1 也就是 函數的基本三要素是 定義域 值域及對應關係 分式函數的定義域是要考慮 分式函數中的分母不能為0 除了利用分式函數的圖形來探討 分式函數的值域之外 可利用拆解法 配方法 或判別式法等三種方法 求分式函數的值域 函數的基本三要素是 定義域 值域及對應關係 這裡提供三種方法 來求分式函數的值域 事實上還有許多方法 來求分式函數的值域 如極限法 反函數法 根式代換或三角代換法 不等式 單調性法等等 同學們可以自行摸索