分段函數是在微積分上常見的函數

在生活中很多實例

都可以用分段函數來表示

舉例說明

某水果店賣西瓜

若一個西瓜的重量在3公斤以下

包括3公斤

則銷售價格為每公斤20元

若超過3公斤

則銷售價格為每公斤15元

那麼一個西瓜的銷售收入

y等於f元

與重量x公斤的函數關係表示為

f若x小於等於3

等於20x

若x大於3等於15x

上述例子中函數y等於f

是以x的範圍分二段表示的函數

這函數就是分段函數

高一已學過絕對值

現在來複習絕對值的概念

在數線上若給定一個實數x

則x到原點O的距離稱為x的絕對值

記作|x|

舉例說明

如圖1所示

點A到原點O的距離為a的絕對值

即a的絕對值等於-3的絕對值

等於3

點B到原點O的絕對值為b的絕對值

即b的絕對值等於4的絕對值

等於4

絕對值的重要性質是絕對值的值為正或零

利用此性質解一個例題

若a的絕對值加b的絕對值等於0

則a b等於多少

解答

由於a的絕對值跟b的絕對值都大於等於0

又a的絕對值加b的絕對值等於0

所以a的絕對值等於b的絕對值等於0

故a等於b等於0

x的絕對值的重要性質

x的絕對值大於等於0

現在可利用x的絕對值大於等於0的性質

拆開二種情況

將x的絕對值寫成

x的絕對值

若x大於等於0

等於x

若x小於0等於-x

若考慮絕對值函數y等於f

就可以寫成如畫面上

加上函數y等於f的形式

其中定義域為R

且值域為半開區間聯集

等於R

且值域為

第2個條件

g等於g

其中x屬於R

試求第1題

g等於多少

第2題 g)等於多少

解答

第1題 當x等於12時

因為g等於g

所以g等於g

等於g

等於g

等於g

等於g

等於g

等於g

等於g

等於f

等於0平方

等於0

第2題 因為g等於0

所以g)等於g

等於f

等於0的平方

等於0

試著繪出前一個例子的函數圖形

並求函數f的定義域及值域

圖2 圖3 圖4的函數圖形皆是分段函數

注意到分段函數的圖形

有可能是連續的

或可能是斷掉的

這是分段函數圖形性質

同學們試著繪出底下的分段函數

同學們做對了嗎