前一單元提到分段函數 函數的定義域是由好幾段 不相交的區間 所構成的函數 稱為分段函數 這單元要介紹高斯函數 此函數可用分段函數表示 底下以絕對值函數為例 來複習分段函數 絕對值函數 f等於x的絕對值 若x大於等於0 等於x 若x小於0 等於-x 絕對值函數是由不相交的二段區間 區間負無限大到0 與區間0到無限大 所構成的函數 接著要談的高斯函數 是由不相交的無限多段區間 所構成的函數 底下利用分段函數觀點 來看高斯函數 也就是若x大於等於n 小於n加1 其中n屬於整數 則等於n 對於任意實數x 為小於或等於x的最大整數 我們稱符號為高斯符號 且稱函數f等於 為高斯函數或最大整數函數 例如 因為2大於等於2 小於2加1 所以2取高斯等於2 因為-2.5大於等於-3 小於-3加1 所以-2.5取高斯等於-3 現在利用分段函數觀點 來表示高斯函數 當x大於等於-2小於-1時 x取高斯等於-2 當x大於等於-1小於0時 x取高斯等於-1 當x大於等於0小於1時 x取高斯等於0 當x大於等於1小於2時 x取高斯等於1 當x大於等於2小於3時 x取高斯等於2 此分段函數除了上述情況之外 x大於等於3及x小於-2 都要考慮 所以得到的分段函數無法寫盡 圖形為圖2 這圖形的特性就像是階梯一樣 而且每一層包含前面端點 但是不包含後面端點 因此高斯函數又稱為階梯函數 已知高斯函數f等於x取高斯 試求函數f的值域 解答 對於任意的整數n 當x大於等於n小於n加1時 f等於x取高斯等於n 故函數f的值域 為所有整數所成的集合 底下練習兩個題目 熟悉高斯符號的運算 由高斯符號定義可知 對於任意實數x x取高斯滿足如上的不等式 現在要利用此性質 求滿足x取高斯等於2x減1的所有解 解答 因為x取高斯滿足如上不等式 代入x取高斯等於2x減1可得到 x大於等於括號2x減1 小於括號2x減1加1 推得x大於0小於等於1 又x取高斯等於2x減1為整數 故x等於2分之1或1 上述問題可以利用 幾何意義的圖形來求解 也就是畫f等於x取高斯 與直線g等於2x減1 兩函數圖形交點的x坐標 就是滿足x取高斯等於2x減1的所有解 即為x等於2分之1或1 試求sigma k等於1到16 log以2為底的k取高斯的值 解答 當k等於1時 log以2為底的k取高斯等於0 當k大於等於2小於4時 log以2為底的k取高斯等於1 此時k等於2 3 當k大於等於4小於8時 log以2為底的k取高斯等於2 此時k等於4 5 6 7 當k大於等於8小於16時 log以2為底的k取高斯等於3 此時k等於8 9 10 11 12 13 14 15 當k等於16時 log以2為底的k取高斯等於4 故sigma k等於1到16 log以2為底的k取高斯 等於1乘以0加2乘以1 加4乘以2加8乘以3 加1乘以4等於38 同學們想一想答案馬上揭曉 現在利用高斯函數 來解決生活上的問題 以計程車車資為例 民國200年的計程車車資y元 隨里程x公里而定 計算標準如下表所示 由上表可知未滿2公里車資為100元 之後每500公尺跳10元 未滿500公尺以500公尺計 則某人搭乘計程車里程為3公里 則應付車資多少元 若搭乘計程車里程為x公里 則應付車資y等於f元 則f等於多少 解答 第題 由表可知 當x大於等於3小於3.5時 故車資y等於100加10乘以3 等於130 第題 當x大於0小於2時 車資y等於100元 當x大於等於2小於2.5時 即x大於等於2加0.5乘以0 小於2加0.5乘以1 故車資y等於100加10乘以1 等於110元 當x大於等於2.5小於3時 即x大於等於2加0.5乘以1 小於2加0.5乘以2 故車資y等於100加10乘以2 等於120元 當x大於等於3小於3.5時 即x大於等於2加0.5乘以2 小於2加0.5乘以3 故車資y等於100加10乘以3 等於130元 以此類推可知當 x大於等於2加0.5乘以括號k減1 小於2加0.5乘以k時 車資y等於100加10乘以k元 因為x大於等於2加0.5乘以括號k減1 小於2加0.5乘以k 所以0.5分之x減2 大於等於k減1小於k 即2x減3大於等於k小於k加1 再由高斯符號定義 可知2x減3取高斯等於k 因此車資y等於f 等於100 其中x大於0小於2 等於100加10乘以2x減3取高斯 同學們試著繪出底下的高斯函數 同學們做對了嗎