前面單元介紹

函數的基本概念及函數圖形

這單元回到函數的本身

探討函數的四則運算

四則是指加法

減法

乘法

除法的計算法則

函數的四則運算

與之前單元談到整數或多項式的

四則運算之運算方式是相同的

同樣地在除法運算上

必須要求分母不能為零

由於透過函數的四則運算

可以形成新函數

所以此單元主要探討

新函數的定義域

底下定義函數的四則運算

透過函數的四則運算

可以形成新函數

設函數f為從A到R的映射

與函數g為從B到R的映射

皆為實函數

設函數f與g分別定義在集合A與B上的函數

其中A與B為實數集R的子集合

則我們可以定義函數f與g的和 差 積 商

函數如下

和函數

f與g的和函數等於f加g

定義域為A交集B

差函數

f與g的差函數等於f減g

定義域為A交集B

積函數

f與g的積函數等於f乘以g

定義域為A交集B

商函數

f與g的商函數等於f除以g

定義域為A交集B

但要扣掉g等於0的x之情況

在函數f與g的定義域有意義條件下

函數f與g的四則運算後

是否仍是函數呢

這關鍵在函數的四則運算後

定義域是否有意義

底下舉個例子說明

現在觀察函數f等於根號x減2

與f等於根號1減x的和函數

由定義可知

f與g的和函數等於f加g

等於根號x減2加上根號1減x

設A與B分別為函數f與g的定義域

因為f中根號內的數必須不小於零

所以x減2大於等於0

推得x大於等於2

故f的定義域A為

x屬於R且x大於等於2

同理可得g的定義域為

B為x屬於R且x小於等於1

因為f與g的和函數定義域為A交集B

但A交集B等於空集合

所以f與g的和函數不是一個函數

底下從例子中探討

透過四則運算後新函數的定義域

設函數f等於根號x加2

與g等於x減1

試完成下列各小題

第題 函數f與g的定義域

第題 和函數f與g的和函數

f與g的積函數

與f與g的商函數的定義域

解答

第題 設A與B分別為f與g的定義域

因為f中根號內的數必須不小於零

所以x加2大於等於0

推得x大於等於-2

故f的定義域A為

x屬於R且x大於等於-2

因為g為一次多項函數

所以g的定義域為R

第題 和函數

f與g的和函數等於f加g

等於根號x加2加x減1

定義域為A交集B等於A

等於x屬於R且x大於等於-2

積函數

f與g的積函數等於f乘g

等於括號x減1乘以根號x加2

定義域為A交集B

等於A

等於x屬於R且x大於等於-2

商函數

f與g的商函數等於f除以g

等於x減1分之根號x加2

定義域為A交集B

但要扣掉1

也就是x屬於R且x大於等於-2

但要扣除x不等於1的狀況

同學們想一想答案馬上揭曉

解答

底下介紹求f與g的商函數的定義域時

常犯的錯誤

f與g的商函數的定義域為

f與g定義域的交集扣除

使得g等於0的部分

同學們常犯的錯誤

是直接考慮f與g的商函數

等於g分之f形成的新函數

之定義域

而遺忘了要考慮f與g定義域的交集

底下舉例說明

設函數f等於x平方加1

與g等於x分之1

試求f與g商函數的定義域

錯誤的作法

由定義可知f與g的商函數

等於f除以g

等於x分之1分之x平方加1

等於x三次方加x

因為f與g的商函數等於x三次方加x

為三次多項函數

所以f與g的商函數的定義域為R

正確的作法應該是

設A與B分別為f與g的定義域

則顯然f的定義域A等於R

而g中分母不能為零

所以x不等於0

故g的定義域

B等於x屬於R且x不等於0

又g等於x分之1

不等於0

因此f與g的商函數的定義域

為A交集B扣除空集合

等於B扣除空集合

等於B

x屬於R且x不等於0

函數的四則運算

設函數f為從A到R的映射

與函數g為從B到R的映射

皆為實函數

則我們可以定義函數f與g的和 差 積 商

函數如下

f與g的和函數等於f加g

f與g的差函數等於f減g

f與g的積函數等於f乘g

上述函數定義域均為A交集B

f與g的商函數等於f除以g

定義域為A交集B

扣除讓g等於0的x的狀況

f與g定義域的交集

扣除使得g等於0的部分