前一個單元介紹函數的四則運算

這單元介紹函數的合成

合成是另一種運算

這運算跟四則運算不同

許多複雜函數的關係

常是簡單函數的合成

例如

絕對值函數

h等於x減1的絕對值

這函數可以考慮

逐點地將函數g等於x減1作用於

另一個函數f等於x的絕對值的結果

此對應所得到的函數

我們稱函數h為函數f與g的合成

如圖所示

由於合成也是一種運算

運算後定義域是否改變呢

這裡也是會針對

合成函數的定義域問題作探討

底下就來定義合成函數

合成函數的定義

設函數g為從A到B的映射

與函數f為從B到C的映射

則f與g的合成函數定義如下

等於f)

其定義域就是使g的值

落在函數f的定義域中所有x所成的集合

為了更具體了解合成函數的對應關係

讓我們先從有限集合上的元素進行觀察

給定集合A等於B等於C

等於{1,2,3,4}

設函數g為從A到B的映射

與函數f為從B到C的映射

的對應關係如圖1所示

求

由圖1可知

等於)

等於f等於2

等於)

等於f等於2

等於)

等於f等於4

等於)

等於f等於1

故f與g的合成函數

f circle g的對應關係如圖2所示

合成函數不滿足交換律

f circle g與g circle f不一定為同一函數

底下舉例說明

設函數f等於x平方

與g等於x減1

試化簡下列各函數

第題

第題

詳解

第題

等於f)

等於f

等於x減1的平方

等於x平方減2x加1

第題

等於g)

等於g平方

等於x平方減1

從例子中可知

f circle g與g circle f

不一定為同一函數

因此合成函數不滿足交換律

前面介紹的例子

可知合成函數不具交換律

那麼是否存在合成函數

具有交換律的例子呢

讓我們來看看接下來的說明

同學們想一想答案馬上揭曉

底下舉例說明

如何求合成函數的定義域

其定義域是指

使g的值落在函數f的定義域中

所有x所成的集合

注意對於有些例子

並非所有g的定義域中的x值

都會落在函數f的定義域中

底下就來舉例說明

設f等於根號x減4

且g等於x平方加3

試求與其定義域

詳解

函數f的定義域為

值域是x大於等於4的範圍

函數g的定義域為實數

因為等於f)

等於f

等於根號括號x平方加3減4

等於根號x平方減1

又為實函數

所以x平方減1大於等於0

推得x大於等於1

或x小於等於-1

要求的定義域

除了要考慮g的定義域中的x值

要落在函數f的定義域

x大於等於4中

x值也要滿足x大於等於1

或x小於等於-1

因此的定義域為

x大於等於1

或x小於等於-1的範圍

同學們想一想答案馬上揭曉

前面探討兩個函數f與g的合成函數

事實上也可以考慮

函數f與自身的反覆合成

我們定義其表示法為