在進入正式課程前

我們先複習一下導函數的概念

以單項多項式為例

x的n次方的導函數計算方式為

指數往前提並指數減1

以f等於x3次方為例

f的導函數為f'

等於3x平方

由上可知

在f等於x3次方時

導函數為f'等於3x平方

這時當x等於a時

其導數f'等於3a平方

即代表著在x等於a的切線斜率為3a平方

而當x等於1時

我們將其代入可知f'等於3

代表著在x等於1的切線斜率為3

那麼如果我們嘗試作圖

先畫出y等於x的3次方

當我們畫出x等於1時

會和y等於x3次方有一個交點

以此交點做為切線

即可得到一條斜率為3的切線

在不同的切點時

也會有不同的切線

而同學們可以看到當切點移動時

切線也會變動

同時也有不同的導數

例如當x等於3時

利用x3次方的導函數3x平方

可得導數27

所以導函數是該函數之切線斜率的函數

那麼如果有一個F的導函數

F'等於3x平方時

F會等於什麼呢

在前面的舉例中

我們可以知道x3次方的導函數

會是3x平方

那F只能為x3次方嗎

同學們可以想一下

然後可以發現不只有一個

像x3次方加1 x3次方加2

x3次方加3等等

以上形式的導函數都會是3x平方

因此F不唯一並且列不完

接下來就讓我們來討論

F和F'的關係

以x3次方的導函數3x平方為例

我們稱x3次方為3x平方的一個反導函數

相同的

x3次方加1 x3次方加2

x3次方加3

也都是3x平方的一個反導函數

因此我們可以知道反導函數不唯一

那麼f'的反導函數該怎麼表示呢

當有很多個反導函數

如x3次方 x3次方加1等等時

我們常會用常數項C

做為各個常數的代表

因此F'等於3x平方的反導函數

F為x3次方加C

C為常數

依照前述反導函數的概念進行整理

代表著若某個函數F的微分為f

則F為f的一個反導函數

因此我們可以定義反導函數如下

若函數F滿足F'等於f

則F為f的一個反導函數

接下來為了計算反導函數

此時我們借用前面課程介紹的

定積分符號

把所有的f的反導函數F加C

都記成∫fdx

此時我們稱∫fdx為f的反導函數

若以前面所講的內容做為整理

我們可以將其寫為

若F為f的反導函數

即F'等於f

則∫fdx等於F加C

此部份仍須注意需要加上常數項C

代表反導函數不唯一

接著我們以一個例子進行說明

若F'等於x3次方

那麼其反導函數F為何

我們先思考x的n次方的微分

為n乘以x的n減1次方

因此n分之1乘以x的n次方的微分

等於x的n減1次方

若讓x的n減1次方

等於x的3次方時

可知道4分之1乘以x的4次方的微分

為x3次方

那麼同學看到這個式子

可回想一下前面的內容

知道4分之1乘以x的4次方

是x3次方的一個反導函數

因此我們可以說F等於4分之1乘以x的4次方

加上常數項C

這裡的C同學很容易會忽略

所以請同學特別注意

不要漏掉常數項喔

最後我們將其寫成不定積分的式子

則為∫F'dx等於∫x3次方dx

等於4分之1x4次方加C

C為常數

課中測驗

請嘗試選擇出正確的選項

我們從前述內容得知

函數F的微分為f

則F為f的一個反導函數

則選項的微分為

2022x的2021次方

選項的微分為x的2022次方

因此都不是答案

而選項的微分為x的2023次方

等於題目的要求

因此本題答案為

那麼最後我們來整理一下

反導函數的概念

我們知道當多項式F'等於f時

F為f的一個反導函數

這裡再次強調

此部份代表著一個反導函數

因為反導函數有很多個

那麼我們如果要對f的反導函數

進行統一整理

需寫成f的反導函數為F加C

C為常數

而後面的常數項

即能讓很多個反導函數有一個表示方式

那麼若以不定積分的形式表示時

∫fdx為f的反導函數

又因F'等於f

則∫fdx等於∫F'dx

則我們可以將f的反導函數寫成

∫fdx等於F加C

C為常數

這部分請同學一定要注意加上C這個常數項

那麼同學們看到這裡後

可以發現實際上f的反導函數

即為f的不定積分

因此同學們未來在寫算式時

看到求f的反導函數

則可直接列式出∫fdx

並且計算過後要記得加常數項喔

那麼今天的反導函數介紹到這邊

各位同學加油