這單元要介紹函數的奇偶性 先利用高一學過單調函數圖形 說明奇偶性 初步理解函數的奇偶性 由f等於x的平方的圖形可知 圖形上的點 相對圖形上的另一點 點相對圖形上另一點 也代表對於所有實數x 點)都相對圖形上另一點 ) 圖中相對應的點均彼此對稱於y軸 即每個實數x均滿足 f等於f 此函數就是偶函數 由f等於x三次方的圖形可知 圖形上的點 相對圖形上另一點 點相對圖形上另一點 也代表對於所有實數x 點)都相對圖形上另一點 ) 上述相對應的點均彼此對稱於原點 即每個實數x均滿足f等於-f 此函數就是奇函數 底下就來定義奇函數與偶函數 奇函數與偶函數的定義 若函數f 對於其定義域中的所有x 均滿足f等於-f 則稱f為奇函數 且圖形必對稱於原點 若函數f對於其定義域中的所有x 均滿足f等於f 則稱f為偶函數 且圖形必對稱於y軸 注意若將前面例子二次函數 f等於x平方的定義域 限制在x大於0 顯然定義域沒有對稱於原點 如圖所示 事實上只要定義域沒有對稱於原點 就不會是偶函數 也不會是奇函數 因此f等於x平方 x大於0 不是奇函數也不是偶函數 試判斷各小題函數是奇函數或是偶函數 第題 f等於x三次方加2x 第題 g等於x的絕對值 第題 h等於x加1 解答 第題 因為f等於-x的三次方加2倍的-x 等於-x三次方減2x 等於負的括號x三次方加2x 等於-f 所以f等於x三次方加2x為奇函數 第題 因為g等於-x的絕對值 等於x的絕對值 等於g 所以g等於x的絕對值為偶函數 第題 因為h等於-x加1 等於-x加1 又h不等於-h 且h不等於h 所以h等於x加1 不是奇函數也不是偶函數 同學們想一想答案馬上揭曉 接著探討奇偶函數的加法 及乘法運算性質 奇偶函數的加法及乘法運算性質 兩個奇函數的和為奇函數 兩個偶函數的和為偶函數 兩個奇函數的乘積為偶函數 兩個偶函數的乘積為偶函數 一個奇函數和一個偶函數的乘積 是奇函數 證明 設f為奇函數 且g為奇函數 則由奇函數的定義可知 f等於-f 且g等於-g 所以f加g等於-f減g 等於負的括號f加g 故兩個奇函數的和為奇函數 設f為偶函數且g為偶函數 則由偶函數的定義可知 f等於f 且g等於g 所以f加g等於f加g 故兩個偶函數的和為偶函數 設f為奇函數且g為奇函數 則由奇函數的定義可知 f等於-f 且g等於-g 所以f乘g 等於括號-f乘上-g 等於f乘g 故兩個奇函數的乘積為偶函數 設f為偶函數且g為偶函數 則由偶函數的定義可知 f等於f 且g等於g 所以f乘以g 等於f乘g 故兩個偶函數的乘積為偶函數 設f為奇函數且g為偶函數 則由奇偶函數的定義可知 f等於-f 且g等於g 所以f乘以g 等於-f乘以g 等於負的f乘以g 故一個奇函數和一個偶函數的乘積 是奇函數 同學們想一想答案馬上揭曉 同學們想一想答案馬上揭曉