這個單元我們要來介紹

函數f在x等於a時的極限

記作limit x趨近a f

也就是當x趨近於a時

判斷f的值是否會趨近於某一個定值

首先我們來觀察一下

y等於f等於x減1

分之2乘以括號x平方減1的圖形

因為分母不能為0

因此1不在這個函數的定義域中

所以x等於1處所對應的圖形

以空心來表示

我們可以觀察發現

當x趨近於1時

函數值y等於f會趨近於4

也就是即當x趨近於1時

可以判斷f的值會趨近於一個定值

透過圖可以知道這個定值是4

接著我們透過代入不同的x來了解

f等於x減1分之2乘以括號x平方減1

在x等於1附近的函數值

當x等於0.9時可以算得

f的值等於3.8

當x等於0.99時可以算得

f的值等於3.98

當x等於0.999時可以算得

f的值等於3.998

當x等於1.1時可以算得

f的值等於4.2

當x等於1.01時可以算得

f的值等於4.02

當x等於1.001時可以算得

f的值等於4.002

也可以看得出來當x趨近於1時

函數f等於x減1分之2乘以括號x平方減1

會趨近於4

從函數圖形與代x值製表

都可以看得出

當x趨近於1時

函數f等於x減1分之2乘以括號x平方減1

會趨近於4

然而更精確地來說

無論我們想要f有多靠近4

必能在x等於1的附近找到一個範圍

使得在此範圍內

f與4的差距不超過選定的誤差

例如選定誤差為0.1

如果想要f和4的差距小於0.1

僅需要0小於x減1的絕對值小於0.01

就會有f再減4的絕對值

小於0.1

又如果想要f和4的差距小於0.01

只需要0小於x減1的絕對值小於0.001

就會有f減4的絕對值

小於0.01

一般來說對於任意選定的誤差ε

無論這個ε是多麼小的正數

都可以根據它來找到一個正數δ

使得只要x滿足0小於x減1的絕對值小於δ

這樣的範圍限制

f和4的差距就會比原先選定的誤差還要小

即f減4的絕對值小於ε

我們將這個事實記為

limit x趨近於1

x減1分之2乘以括號x平方減1等於4

我們也稱函數

f在x等於1的極限是4

函數的極限

設函數f在一個包含a的開區間中的任意實數x

其中x不等於a有定義

若能找到一個實數L

使得只要x夠靠近a

函數f的值要多麼靠近L都可以

則我們稱函數f在x等於a時極限存在

這個極限為L

記為f在x等於a時的極限

等於L

計算sin x在x等於2分之π時的極限

在高二時我們曾經學過

y等於sin x的函數圖形

觀察這個圖形並透過計算機

求出x等於2分之π附近的函數值

可以發現當x趨近於2分之π時

sin x的函數值會趨近於1

也就是說sin x

在x等於2分之π時的極限

等於1

計算x的絕對值在x等於0時的極限

當x大於等於0

x的絕對值等於x

當x小於0

x的絕對值等於-x

觀察這個圖形

並計算數值後列出製作成表格

可以發現當x趨近於0時

x的絕對值的函數值會趨近於0

也就是說x的絕對值

在x等於0時的極限等於0

關於函數的極限

還有一些迷思概念需要釐清

所謂x趨近於a

是x愈來愈靠近a

而不是令x等於a

如圖中的函數g

它在x等於a處沒有定義

然而當x趨近於a時

g仍會很靠近L

而且想要多靠近L就能有多靠近

因此g在x等於a時的極限等於L

又如圖中的函數h

它在x等於a有定義卻不是L

然而當x趨近於a時

h趨近的值是L

因此h在x等於a時的極限等於L

因此這三個函數在x等於a的極限都是L

我們了解到求極限

f在x等於a時的極限

並不需要考慮f的值

甚至可以在x等於a處沒有定義

那麼任一個函數在x等於a處都有極限嗎

如圖中的函數f

當x趨近於a時

可以發現從左側或右側靠近時

f所趨近的值並不相同

因此f在x等於a時的極限不存在

又例如圖中的函數f

當x趨近於a時

f的值會變得愈來愈大

要多大就能有多大

也就是f的值趨近於無限大

也是f在x等於a時的極限不存在

在這一次的影片中

我們認識到了函數極限的定義

若能找到一個實數L

當x趨近a時

函數f的值會趨近L

便說f在x等於a處極限存在

記為f在x等於a時的極限等於L