上次的影片中

我們介紹了極限的定義

然而不是每一個函數在x等於a處都有極限

觀察這個函數圖形

我們發現x由左側或右側靠近a時

f趨近的值並不相同

也就是找不到一個實數L

使得只要x足夠靠近a

函數f的值要多靠近L

就能有多靠近

我們稱limit x趨近於a f不存在

已知函數x大於等於4時

f等於1

x小於4時

f等於0

透過觀察其函數圖形

說明limit x趨近於4 f不存在

觀察這個函數圖形

發現x從左側靠近4時

f恆為0

從右側靠近4時

f恆為1

兩側靠近趨近的值並不相同

因此limit x趨近於4 f不存在

透過上面的討論

我們可以知道limit x趨近於a

f等於L的意思是

無論x從左側或右側趨近於a

f都趨近於相同值L

當f在某個以a為右端點的開區間

有定義時

我們可以讓x從左側趨近於a

並觀察f的變化

此時f所趨近的值

稱為f在x等於a的左極限

記作limit f x從左趨近於a

同樣地當f在某個以a為左端點的開區間

有定義時

我們可以讓x從右側趨近

此時f趨近的值稱為

f在x等於a的右極限

記作limit f x從右趨近於a

綜合以上討論

我們知道f在x等於a有極限L

即f在x等於a的左極限和右極限都等於L

要確認f在x等於a的極限是否存在

僅需透過它的左極限和右極限

是否相等即可

假設函數f的圖形像這個樣子

讓我們透過左極限與右極限

來探討在各點的極限值是否存在

並求出它們的值吧

當x趨近於-1時

如果從由左側趨近

那麼f趨近於2

左極限為2

如果從右側趨近

那麼f趨近於1

即右極限為1

左右極限不相等

所以f在x等於-1處極限不存在

當x從左側趨近於0時

f要多大就有多大

因此左極限不存在

當x從右側趨近於0時

f要多小就能夠有多小

因此右極限不存在

只要左極限或右極限

其中一者不存在的話

極限就不存在了

因此f在x等於0處的極限不存在

當x從左側趨近於1時

f趨近於0

因此左極限為0

當x從右側趨近於1時

f也趨近於0

因此右極限也為0

左極限和右極限存在且相等

都等於0

於是f在x等於1處的極限存在且等於0

當x趨近於2時

左極限為1

右極限為2

左極限不等於右極限

因此極限不存在

當x趨近於4時

左極限為2

右極限也是2

左極限和右極限存在且相等

都等於2

因此極限存在且等於2

從這個例子也可以發現

雖然函數值f等於3

但所得極限和此值無關

當x趨近於6時

左極限為1

右極限也是1

左極限和右極限存在且相等

都等於1

因此極限存在且等於1

從這個例子也可以發現

雖然在x等於6處函數值沒有定義

但仍可以求出極限

透過圖形我們也可以看得出來

f在x等於3處的極限不存在

以及f在x等於5處的極限存在

且此極限為0

試利用左極限及右極限說明

當x趨近於0時

x分之絕對值x的極限不存在

觀察圖形

當x由左側趨近於0時

因為x小於0

所以x絕對值等於-x

此時x分之絕對值x恆等於-1

因此左極限為-1

當x由右側趨近於0時

因為x大於0

所以x的絕對值等於x

此時x分之絕對值x恆等於1

因此右極限為1

因為左極限不等於右極限

故所求極限不存在

截至目前為止

我們知道了要判斷極限是否存在

僅需要左極限右極限存在且相等

與函數值為何無關

甚至可以在該點沒有定義

往後在處理極限問題時

若函數f與g對某個包含a的開區間內

除了a以外的x都滿足f等於g

則兩者在x等於a處極限相等

下面的函數在x等於0處的極限存在嗎

如果存在的話

求出它們的極限吧

兩個函數的極限都存在

而且都是0

這一次的影片中

我們討論函數的左極限 右極限

並藉此來了解函數的極限是否存在

當極限存在時

它們又有什麼運算性質呢