上次的影片中

我們介紹了極限的定義

並透過左極限 右極限的概念

來確認f在x等於a的極限是否存在

現在假設兩個函數f和g

在x等於a的極限都存在時

那麼將它們相加後所得的函數

等於f加g

在x等於a處的極限該如何計算呢

已知f等於x平方在x等於1處的極限為1

且g等於2x在x等於1處的極限為2

試求等於f加g

等於x平方加2x

在x等於1處的極限

對於任意給定正數ε

由題意可知

f在x等於1處的極限為1

利用極限的定義

便可知道無論這個ε多麼地小

都可以根據它來找到一個正數δ1

使得只要x滿足

x減1的絕對值大於0

小於δ1

f和1的差距就小於2分之ε

同樣地由題意可知

g在x等於1處的極限為2

可以找到一個正數δ2

使得只要x滿足

x減1的絕對值大於0

小於δ2

g和2的差距就小於2分之ε

現在選取δ為δ1和δ2中最小的那個

我們便找到正數δ

只要x滿足

x減1的絕對值大於0小於δ

式和式都能成立

利用三角不等式

可以得到f加g和3的差距小於ε

由於正數ε是任意選定的

我們便知道兩函數相加在x等於1處的極限是3

上面的例題中

我們發現了兩函數相加取極限

即為兩函數個別取極限後再相加

事實上函數極限有以下運算性質

函數極限的運算性質

若函數f與g在x等於a時極限存在

且分別為L與M

則

兩函數相加減取極限

等於它們個別取極限再相加減

可以將常數c提到極限的前面

兩函數相乘取極限

等於它們兩個個別取極限再相乘

設M不等於0

且對某個包含a的開區間中

不等於a的x都有g不等於0

則兩函數相除取極限

等於它們個別取極限再相除

設L大於等於0

且對某個包含a的開區間中

不等於a的x都有f大於等於0

則函數開根號再取極限

等於取極限後再開根號

計算下列各極限

第1題 x加1乘以括號x加2

在x趨近於0的極限

第2題 x平方加1分之3x加2

在x趨近於3的極限

第1題 因為x和1的極限都存在

可以個別取極限再相加

因此x加1在x等於0處的極限為1

又因為x和2的極限都存在

因此x加2在x等於0處的極限為2

現在x加1和x加2在x等於0處的極限都存在

可以個別取極限再相乘

因此所求的極限為

1乘以2等於2

第2題 因為3x和2的極限都存在

可以個別取極限再相加

得到3x加2在x等於3處的極限為11

又因為x平方和1的極限都存在

因此x平方加1在x等於3處的極限為10

現在分子和分母在x等於3處的極限都存在

且分母在該處附近

與它的極限都不等於0

可以個別取極限再相除

因此所求的極限為10分之11

從上面的例子中我們可以發現

常數c的極限恆為c

而單項式x在x等於a處的極限必定是a

利用兩函數相乘取極限

等於它們個別取極限再相乘這個性質

可以推得單項式x的n次方

在x等於a處的極限即是a的n次方

那麼對於一個多項式函數

如果想要求它的極限

可以將每個單項式個別取極限再相加

從而發現此多項式函數的極限

恰為在該點的函數值

也就是說

我們想要求多項式函數的極限時

只要直接代入即可

另外對於有理函數而言

設f g為多項式函數

如果分母在x等於a處的函數值不為0

利用兩函數相除取極限

等於它們個別取極限再相除這個性質

也能夠知道它其實也是直接代入便可

有些時候要計算f在x等於a的極限

例如 x減1分之2乘以括號x平方減1

在x等於1處的極限

卻發現分子和分母在x等於1處的極限都是0

這種情形我們可以說極限不存在嗎

在之前的影片中

我們曾經介紹過當x趨近於1時

函數f等於x減1分之2乘以括號x平方減1

會趨近於4

像這種分子分母極限都是0的情形

或者分子極限不是0

但分母極限是0

又該如何處理呢

這一次我們介紹了函數極限的運算性質

對於函數的相加 減 乘 除 開根號

該怎麼計算它們的極限

有初步的認識

然而對於相除卻出現

分母極限為0的情形還沒有解決

之後的影片將為大家講解