在之前的影片中

我們發現當x趨近於1時

函數f等於x減1分之

2乘以括號x平方減1

會趨近於4

像這種分子分母極限都是0的情形

該如何處理呢

我們並不能因為分母的極限為0

就直接聲稱它的極限不存在

讓我們試著處理看看吧

利用平方差的乘法公式

我們可以將分子中的x平方減1

因式分解成

括號x減1乘以括號x加1

又因為x趨近於1

表示x很靠近1但不等於1

我們可以將分子分母

同時約去不等於0的x減1

接著因為多項式的極限

可透過直接代入而得到

因此計算得此極限為4

從上面的例子中

我們可以知道

有些時候想計算

limit x趨近於a f

卻出現分母的極限為0的情況時

就不能直接使用函數極限的運算性質

必須先做代數處理

讓我們再多做一些練習吧

因為x減1分之1

和括號x減1乘以

括號x加2分之3

它們的分母極限都是0

我們需要做一些代數處理

很直觀地會將兩者通分

將x減1分之1擴分成

括號x減1乘以括號x加2

分之x加2

進一步化簡成

括號x減1乘以括號x加2

分之x減1

又x趨近於1

表示x很靠近1但不等於1

我們可以約去不等於0的x減1

接著因為有理函數的極限

如果分母的極限不為0的話

可以直接代入而得到極限

因此計算得此極限為3分之1

回顧一下之前曾經提到過

一個函數開根號後取極限

等於取極限後再開根號

因此分子與分母的極限皆為0

我們進一步做代數處理

利用平方差的乘法公式

分子分母同時乘以

根號x加1加2

可以將分子有理化

進一步化簡成

括號x減3乘以括號根號x加1加2

分之x減3

又x趨近於3

表示x很靠近3但不等於3

可以約去不等於0的x減3

此時開根號後取極限

等於取極限後再開根號

令x等於3代入分母的根號中

計算得此極限為4分之1

讓我們再看一個例子

題目說limit x趨近於1

x減1分之x平方加ax加4存在

我們假設這個極限為L

將x平方加ax加4除以x減1

再乘以x減1

特別地將這個式子配成兩式相乘

利用極限的運算性質

它們相乘取極限

等於個別取極限再相乘

於是算得limit x趨近於1

括號x平方加ax加4等於0

所以1加a加4等於0

解得a等於-5

將a等於-5代回原式

因式分解

再約去不為0的x減1

於是求出此極限為-3

討論到目前為止

我們對於函數f等於g分之h

在x等於a處的極限

依照分子分母的極限是否為0

可以分成三種情況

分子的極限為0

但分母的極限不為0

這種情況相當單純

可以利用極限的性質

對分子分母個別取極限再相除

得到limit x趨近於a

f等於0

分子和分母的極限皆為0

此時limit x趨近於a

f可能存在

也可能不存在

需透過進一步處理才可以得知

值得一提的是

如果f是一個有理函數

也就是說分子h和分母g都是多項式

它們的極限恰是直接代入即可得到

利用因式定理

h和g必定會有一次因式x減a

可以將此不為0的x減a約分

約分完後再度判定分子和分母的極限

是否仍為0

分母極限為0

但分子的極限不為0

如果limit x趨近於a

f存在的話

我們可以假設它是M

那我們可以仿照上面的例題中的方式

將h寫成f和g的乘積

因為f和g在x等於a處的極限都存在

我們可以個別取極限再相乘

得到h在x等於a處的極限為0

這與原本假設分子極限不為0矛盾

此情形下

limit x趨近於a f不存在

我們將f等於g分之h

在x等於a處的極限統整如下

分子的極限為0

但分母的極限不為0

此時極限為0

分子和分母的極限皆為0

此時極限可能存在

也可能不存在

尚需要進一步處理

如因式分解後約分等方式

不可因為分母的極限為0

就說它的極限不存在

分子h的極限不為0

但分母g的極限為0

此時極限不存在

判斷limit x趨近於0

x分之2的x次方減1存在嗎

有時候無法透過代數方式處理

來找出函數的極限

也可以利用計算機

來幫助我們探索研究

利用計算機

找出0附近的一些x

代入x分之2的x次方減1

求出概數整理成表格

觀察此表可以判斷

limit x趨近於0

x分之2的x次方減1存在嗎

透過這個表格

我們發現當x無論是正或負

只要愈接近0

所得到的值就會愈來愈接近0.69314多

可以猜測這個極限大概是0.6931吧

也就是limit x趨近於0

x分之2的x次方減1存在

而且約為0.6931