在之前的影片中

我們曾經提過

要討論一個函數

f在x等於a處的極限是否存在

並不需要考慮f的值

甚至可以在x等於a處沒有定義

那如果在x等於a處的極限存在

而且這個極限又恰好等於函數值

那從直觀上來看

這個圖形在x等於a處沒有斷掉

我們可以知道函數圖形是連續不斷的

可以看得出來

只有函數f的圖形是連續不斷的

而g h在x等於a處有明顯的斷裂

此兩函數的圖形

在x等於a處不連續

接著我們透過極限的觀念

可以更精確地定義

函數在單點的連續

設a在f的定義域中

觀察函數f的圖形

在x等於a的附近

當x趨近於a時

函數的極限存在

且f在x等於a處的極限值

恰好就是函數值f

也就是limit x趨近於a

f等於f

我們稱f在x等於a處連續

注意到此定義包含了以下三件事情

1.f有定義

也就是說a在f的定義域中

2.limit x趨近於a f存在

我們需驗證左極限等於右極限

3.limit x趨近於a

f等於f

亦即此極限等於函數值

特別的情況下

如果此函數在x等於a的左側附近沒有定義

我們採用右極限

代替上面的極限

如果此函數在x等於a的右側附近沒有定義

我們採用左極限代替上面的極限

以上是針對x等於a的這個點

來定義單點連續

如果f在某個範圍中的每個點都連續

就稱f在這個範圍是連續的

例如一次函數f等於x

在實數系上連續

若函數f在其定義域中的每一點都連續

則稱f是連續函數

第一個函數f等於

x減1分之2乘以括號x平方減1

當x不等於1

等於3當x等於1

當x不等於1時

f可化簡為2乘以括號x加1

接著可以計算f在x等於1處的極限為4

然而函數值f等於3

極限值不等於函數值

f在x等於1處不連續

透過函數圖形也可以發現

y等於f的圖形

在x等於1處有一個跳躍

第二個函數g等於

2乘以括號x加1

對於g等於2乘以括號x加1

讓我們先計算函數值

g等於2乘以括號1加1等於4

接著計算g在x等於1處的極限亦為4

該點函數有定義

極限存在

且極限值等於函數值

因此g在x等於1處連續

從之前的影片及上面的例子中

可以看得出來

因為多項式函數取極限可直接代入

因此多項式函數在其定義域的各點都連續

即多項式函數是連續函數

回顧一下我們之前的影片中

提到高斯函數y等於

也就是不大於x的最大整數

可繪出函數圖形如圖所示

那麼此函數在x等於0處是否連續

在x等於0.5處是否連續

在x等於0的左極限為-1

右極限為0

左右極限不相等

極限不存在

因此高斯函數在x等於0處不連續

在x等於0.5的左極限為0

右極限也為0

極限存在且此極限為0

又函數值為0

因此高斯函數在x等於0.5處連續

連續函數的性質

利用函數極限的運算性質

可以推得四則運算性質

當兩函數在x等於a處連續時

它們的相加 相減 相乘 相除

分母g不為0時

所得函數亦在x等於a處連續

由於一次函數x與常數函數c

都是連續函數

反覆利用性質3

可得單項式函數Cxn次方

n為正整數

是連續函數

再利用性質1

可推得多項式函數是連續函數

這點和本次影片中所提到的

g等於2乘以括號x加1

是連續函數相互呼應喔

當x小於1時

函數f為一次函數

當x大於1時

函數f為二次函數

它們都是多項式函數

因此在x不等於1處之各點皆連續

依題意此函數是連續函數

因此在x等於1處也要連續

利用定義有limit x趨近於1

f等於f

計算左極限

f在x等於1的左極限

等於3加a

計算右極限

f在x等於1的右極限

等於1

計算函數值f等於b

因為極限值存在

所以左極限等於右極限

又因為在x等於1處連續

所以此極限值等於函數值

即3加a等於1等於b

解得a等於-2且b等於1

讓我們再看一次這個函數圖形

這題的解答說明了

當a等於–2且b等於1時

這個函數圖形的三個部分才會接在一起

我們這次提到了連續的概念

函數在某處的極限

恰等於它的函數值

我們稱在該點連續

若函數在其定義域中的每個點都連續

則稱為連續函數

那麼指數函數a的x次方

對數函數以a為底x的對數

絕對值函數 絕對值x

正弦函數sin x

餘弦函數cos x

正切函數tan x

它們是連續函數嗎

同學們可以思考看看

歡迎在影片底下留言分享喔