上一次我們提到連續的定義

當x趨近於a時

函數f的極限存在

且f在x等於a處的極限值

恰好就是函數值f

則稱f在x等於a處連續

a在f的定義域中的每一點都連續

f是該區間上的連續函數

在之前的影片中

我們曾經繪製過y等於f的圖形

因為分母不能為0

因此x等於1不在這個函數的定義域中

所以點應該以空心來表示

設a不等於1

我們可以計算此函數在x等於a處的極限

因為分子和分母都是多項式

為連續函數

可直接將a代入而得到極限

又分母的極限為a減1不等於0

可以個別取極限再相除

得到此極限為

a減1分之2乘以括號a平方減1

恰為函數值f

因此在x等於a處連續

對於所有在f定義域中的a

f皆在x等於a處連續

所以f是連續函數

附帶一提

此函數在x等於1處的極限為4

極限存在

而它的圖形在x等於1處有明顯的斷裂

因此在x等於1處不連續

從上面的例子中我們可以知道

連續函數的圖形可能在某處斷裂

但有時我們會想知道一個函數

是不是在某一個區間範圍之中

都沒有這種斷裂的現象

這就引導出了區間連續的概念

設一函數f

在閉區間中的任意點皆有定義

若滿足下列三件事情

則稱f在閉區間上連續

1.對於所有介於之間的內點c

f在x等於c處連續

2.在左端點a處

f的右極限等於函數值

3.在右端點b處

f的左極限等於函數值

以圖來看

這個函數f在閉區間上連續

之前我們提過高斯函數

也就是不大於x的最大整數

可繪出函數圖形如圖所示

那麼它在閉區間上

閉區間上

閉區間上連續嗎

高斯函數在閉區間上連續嗎

對於內點c

在x等於c處附近的函數值都是1

因此趨近於c時的極限也是1

與在該點的函數值相同

因此在x等於c處連續

對於左端點

在x等於1右側附近的函數值都是1

因此從右趨近於1時的極限也是1

與函數值相同

對於右端點根號2

在x等於根號2左側附近的函數值都是1

因此從左趨近於根號2時的極限也是1

與函數值相同

滿足了在閉區間上連續的條件

因此高斯函數在閉區間上連續

高斯函數在閉區間上連續嗎

考慮右端點2

在x等於2左側附近的函數值都是1

因此從左趨近於2時的極限也是1

但函數值是2

兩者不相同

因而在閉區間上不連續

高斯函數在閉區間上連續嗎

考慮在根號2處的極限

它的左極限是1

右極限是2

兩者不相同

極限不存在

因此在x等於2處不連續

當然在閉區間上不連續

透過函數圖形也可發現

y等於的圖形

在x等於2處有一個跳躍

平方根函數根號x在閉區間上連續嗎

從幾何觀點來看

我們可以直接繪出圖形來看

可以發現它的圖形連續不斷的

從代數觀點來看

從右側趨近0時

極限值是0

與函數值相同

從左側趨近5時

極限值根號5與函數值相同

因此平方根函數在閉區間上連續

附帶一提從圖形或者定義來看

都可以知道平方根函數是連續函數

正切函數tan x在閉區間上連續嗎

我們可以直接繪出圖形來看

可以發現它的圖形連續不斷的

僅在x等於2分之π附近

有飆升或驟降的現象

也就是在此處的極限不存在

因而在x等於2分之π處不連續

也就是說正切函數在閉區間上不連續

附帶一提

因為tan x在它定義域中的每一點都連續

因此它是連續函數

特別注意函數圖形上眾多不連續的點

都不在tan x的定義域中

連續函數可能在某個給定的閉區間上不連續

只有在特定的閉區間上連續

也未必能構成連續函數

往後在討論各種情況時

應留意給定的條件

是在某給定的點連續

連續函數

或者在給定的閉區間上連續

之前的影片中我們曾討論過

函數x分之x的絕對值

在x等於0處的極限不存在

那它是連續函數嗎

那麼它在閉區間上連續嗎

在閉區間上連續嗎

在閉區間上連續嗎