還記得在上次的影片中 我們曾經介紹過在閉區間上 連續的意思嗎 對於所有介於a b之間的內點c f在x等於c處連續 在左端點a處 f的右極限等於函數值 在右端點b處 f的左極限等於函數值 以圖來看這個函數f 在閉區間上沒有斷裂 讓我們畫一個在閉區間上 連續的函數吧 例如二次函數f等於x平方 我們將閉區間這一段的函數圖形 以不同顏色顯現出來 接著觀察在這一段曲線上 會碰到哪些水平直線喔 水平直線y等於2分之1 沒有碰到它 水平直線y等於2 y等於π y等於6.789 都有和它碰到 接下來y等於9.01 就沒有和它碰到了 如果水平直線的y截距介於f和f 那是不是就會和那一段曲線碰到呢 好比說從臺北市搭車到其他縣市 如桃園市 宜蘭縣等地方旅遊 行車一定會經過新北市 這個想法運用在函數圖形上 其實就是介值定理 又稱中間值定理的概念 設a b為兩實數 a小於b 函數f在閉區間上連續 若實數k介於f和f之間 但不等於f和f 也就是說k大於f小於f 或者k大於f小於f 則至少有一實數c介於a b之間 滿足f等於k 我們說至少一個實數c 可使f等於k 但也有可能很多個 像圖中的c c c 代入後所得到的函數值都是k喔 因為f等於1 且f等於4 而2介於1與4之間 利用介值定理 可以知道在1和2之間 有至少一個實數c 滿足f等於c平方等於2 又因為f等於x平方 在閉區間上嚴格遞增 所以滿足c平方等於2的正數只有一個 這個正數就是根號2 介值定理只有說明存在性 該如何找到它又是另一個問題了 我們可以嘗試代入1.5 求出f等於2.25 又2介於f和f 利用介值定理 可以知道c介於1和1.5之間 接著我們也可以嘗試代入1.4 求出f等於1.96 利用介值定理 可以知道c也就是根號2 介於1.4和1.5之間 以此類推 隨著c的可能範圍愈來愈小 可以找到c的概數 根號2大約為1.414 從之前的影片中 我們知道兩個連續函數的 相加 相減 相乘 相除 分母不為0時 所得的函數亦為連續函數 事實上它們的合成函數 也同樣是連續函數喔 例如f等於sin x以及g等於x平方 為連續函數 它們的合成函數f) 等於sin 也是連續函數 只要是連續函數 就可以適用介值定理 我們來看一下下面的例子 設x為一正實數且滿足 x乘以3的x次方等於3的18次方 若x落在連續正整數k與k加1之間 則k為多少 已知x和3的x次方都是連續函數 所以兩者的乘積x乘3的x次方 也是連續函數 令f等於x乘3的x次方 我們可以試著代入整數x求得 x乘3的x次方的值 當x等於18時 f等於18乘以3的18次方 大於3的18次方 我們可以從x等於18 開始依序向更小的數字尋找 f大於3的18次方 f大於3的18次方 f小於3的18次方 利用介值定理可以知道 x乘3的x次方等於3的18次方的正實根 介於15和16之間 因此所求正整數k等於15 接下來讓我們考慮一個特殊的狀況 在介值定理的敘述中 若實數k為0 條件變成0介於f和f之間 也就是說f和f一正一負 可以寫成f乘f小於0 那麼f等於0在a b之間至少有一實根 這就是勘根定理 在左圖中 f等於0恰好只有一個根c 而在右圖中 f等於0卻有三個根 勘根定理只能說明有根 但不能告訴我們到底有幾個根 試問三次多項方程式 我們可以試著代入整數 –2 –1 0 1 2 3 4 並計算函數f值 因為f和f異號 f和f異號 f和f異號 所以在–2和–1之間有一根α 在–1和0之間有一根β 在1和2之間有一根γ 利用因式定理可以將f 分解成三個一次多項式 於是f等於0不會再有其他根了 如果我們從函數圖形來看 也可以看得出來 它交x軸於點 f等於0的根α β γ 確實分別介於–2和–1之間 –1和0之間 以及1和2之間 這次影片介紹介值定理 說明了一個在閉區間上連續的函數 若a b代入所得到的函數值不同 則對所有介於其中間的值k 都能找到一個c 代入所得到的函數值恰好等於k 而勘根定理就是介值定理 在k等於0時的特例 注意到ff小於0時 a b之間可能不只一個根 勘根定理保證至少有一個實根 但無法告訴我們到底有幾個根 設a b c d為實數且a不等於0 那麼三次多項式函數 f等於ax三次方加bx平方加cx加d 一定會至少有一實根嗎