我們在討論數列極限時

曾經介紹過夾擠定理

有些函數的極限不容易直接求得

和數列極限所討論的夾擠定理類似

求函數的極限

也可以利用夾擠定理

考慮兩個函數

將一函數包夾的方式來求出極限

讓我們來討論利用夾擠定理

處理函數的極限

設三函數f g h

在一個包含a的開區間中

不等於a的實數x

f都介於g和h之間

若這兩函數g與h

在x等於a處的極限都存在

且都等於L

則f在x等於a處的極限也存在

並且這個極限也是L

在這個圖中

假設在x等於a處附近

f介於g和h之間

而且g與h

在x等於a處的極限都是L

那麼被夾住的f

在x等於a處的極限就只能被迫擠到L了

因為函數3x減5與x平方減x減1

在x等於2處的極限都存在

而且它們的極限都是1

可以利用夾擠定理知道函數f

在x等於2處的極限存在

而且這個極限也同樣是1

值得注意的是

這個函數f可能在x等於2處不連續

甚至可能沒有定義

都不會影響它的極限喔

試求limit x趨近於0

x乘以sin x分之1的值

我們先研究函數

x乘以sin x分之1

因為正弦函數的值

必定在-1和1之間

也就是說當x不等於0時

都有sin x分之1大於等於-1

小於等於1

若x大於0

將上式乘以x

得到x乘以sin x分之1

大於等於-x

小於等於x

若x小於0

將上式乘以x後

不等式中各項的大小順序改變

得到x乘以sin x分之1

大於等於x

小於等於-x

無論x是正是負

我們都知道所討論的函數

x乘以sin x分之1

會介於負絕對值x和絕對值x之間

又因為負絕對值x和絕對值x

在x等於0處的極限都是0

利用夾擠定理

被夾在中間的

x乘以sin x分之1的極限也是0

透過函數圖形我們可以發現

x乘以sin x分之1的圖形

被負絕對值x的圖形

以及絕對值x的圖形夾在中間

隨著x和0愈來愈近

x乘以sin x分之1

被夾住並被迫擠到0了

事實上利用夾擠定理時

也可以只考慮單邊極限

例如考慮右極限

在a的右側附近

f都介於g和h之間

若這兩函數g與h

在x等於a處的右極限都存在

且都等於L

則f在x等於a處的右極限存在

而且也等於L

利用夾擠定理求左極限的話

也有類似的結論

如圖所示扇形ABC中

角BAC等於θ

線段AB等於線段AC等於1

且線段BD垂直線段AB

試以θ表示三角形ABC

扇形ABC

及三角形ABD的面積

接著說明它們的大小關係

並依此求出limit θ趨近於0正

θ分之sin θ的值

三角形ABC的面積

等於2分之1AB線段長度

AC線段長度再乘以夾角的正弦值

即2分之1sin θ

扇形ABC的面積

等於2分之1半徑平方乘以夾角

這邊夾角以弧度制表示

得到面積為2分之1θ

三角形ABD的面積

等於2分之1AB線段長度

BD線段長度

而BD線段長度可以寫成

AB線段長度乘以正切值

得到面積為2分之1tan θ

由圖我們可以知道

三角形ABC面積小於扇形ABC面積

小於三角形ABD的面積

整理可得sin θ小於θ小於tan θ

我們將這個不等式拆成兩部分討論

sin θ小於θ

可以發現兩者相除後總是小於1

而tan θ大於θ

也可以透過商數關係

整理出兩者相除總是大於cos θ

因此所求的目標函數

夾在cos θ和1之間

又它們在θ等於0處的右極限都是1

利用夾擠定理

所求等於1

已知函數f定義方式如下

當x是有理數時

f等於x的平方

當x是無理數時

f等於0

這樣f在x等於0處的極限存在嗎

如果存在的話

此極限是多少呢