微積分這門學問是從17世紀

歐洲數學家所研究的四個問題

發展出來的

包含求曲線的切線問題

求速度和加速度問題

求函數的極大與極小值問題

求曲線長 面積 體積 重心等問題

當時英國的數學家牛頓

是為了解決求速度或求變化率等

物理問題而研究微分

而德國的萊布尼茲

則為了研究曲線的切線

而研究微分

他們使用了不同的符號系統

並且幾乎同時而獨立地

獲得許多重要的成果

並構思出微積分基本定理

連結了微分和積分這兩門學問

因此微積分發明人的榮耀

歸於這兩位數學家

後來微積分這門學問

被廣泛應用在物理學 天文學等

自然科學的研究

並發展出微分方程式等新領域

使得數學成為描述 預測自然現象的

重要語言與工具

本單元將從求函數圖形的切線問題談起

引入微分的概念

微分的定義與函數在特定點的極限有關

所以我們先複習一個

求函數極限的例子

如圖考慮函數f和其圖形上的一定點

P點)

若Q點)是函數圖形上

異於P的一點

則通過P和Q可得直線PQ

稱為割線

由函數圖形的性質知道

割線不可能為鉛直線

因此其斜率必定存在

且割線PQ的斜率為

當Q從右邊或左邊愈來愈靠近P點時

Q的x坐標也會從右邊或左邊

愈來愈靠近a

若割線斜率的極限值

limit x趨近於a

f減f除以x減a存在

則稱此極限值為函數f在x等於a的導數

以符號f'表示

當函數f在x等於a的導數存在時

f'就是f圖形上以點)

為切點的切線斜率

此時我們可以更進一步定義切線

若f'存在

則通過點P)

且以f'為斜率的直線

稱為函數f的圖形

以P點為切點的切線

其方程式為

y減f等於f'乘以括號x減a

了解了導數的定義後

我們先來做個練習

接著我們來看一個利用導數

求切線方程式的例子

因為以P點為切點的切線斜率

為f'等於4

利用點斜式可得切線方程式

再做一個練習

設函數f在包含a的開區間上皆有定義

若limit x趨近於a

f減f除以x減a存在

則稱此極限為函數f在x等於a的導數

記作f'

即f'等於limit x趨近於a

f減f除以x減a

當此極限存在時

稱f在x等於a的導數存在或可微分

簡稱可微

否則稱f在x等於a不可微

f在x等於a的導數

即為f圖形上以點)

為切點的切線斜率

若函數f在x等於a可微分

則通過P點)

並且以f'為斜率的直線L

稱為函數f圖形在P點的切線

其方程式為

y減f等於f'乘括號x減a

這個問題的答案

我們將在下一支影片中回答與說明

接下來的單元

我們將進一步介紹導函數的概念

並推導出常數函數

單項式函數

根式函數的導函數公式