微分概念的發展與物理上的瞬時變化率

或函數圖形的切線斜率有關

上個單元中

我們利用函數圖形上

通過特定點的割線斜率與極限

定義了切線斜率與導數

若從物理的角度來看

給定位置函數s

則s在時間s等於t的瞬時速度v

即為s在s等於t的導數s'

當時間點t選定後

x等於t的瞬時速度是唯一的

因此時間t對應到其瞬時速度s'

就構成了函數

這個與導數有關的函數稱為導函數

是我們接下來所要探討的主題

本單元裡

將介紹導函數的概念

並舉例說明函數在定義域中的點

不一定可微

我們先練習一個求函數導數的例子

考慮函數f等於x平方

設a為任意實數

由導數的定義可得

即函數f定義域內的每一個實數a

其導數f'均存在

且f'等於2a

從a對應到f'等於2a的對應關係

構成了另一個函數

稱為f的導函數

以符號f'表示

即f'等於2x

根據上面的說明

我們可以定義導函數

給定函數f

若f定義域中的每一個實數a

其導數f'均存在

則從a對應到f'的對應關係

稱為f的導函數

記作f'

並稱f為可微分函數

也就是說

可微分函數f的導函數f'

是f定義域中的實數a

與f在x等於a的導數f'

之間的函數對應關係

而求函數f的導函數

也稱為將函數f微分

接著我們來看一個求導函數的例子

已知函數f等於x3次方

試求導函數f'

解答

設a為任意實數

則f等於x3次方

在x等於a的導數為

代入得

因式分解得

約去公因式得

其極限為3a平方

因此f'等於3x平方

導數具有廣泛的應用與意義

例如 瞬時變化率

切線斜率等等

上個單元求導數與切線斜率的過程

都是透過定義與極限

不免顯得繁瑣

然而當我們知道可微分函數的導函數之後

只需求導函數的函數值

即可求出某一點的導數

因此後面的影片中

會討論如何求常見函數的導函數

方便求出這些函數在某一點的導數

再練習一個求導函數的例子

本單元與上一個單元的例子裡

總是可以求出

函數在特定點的導數與切線斜率

我們好奇的是

函數在其定義域中的任意點

一定可微分嗎

這個問題的答案是否定的

我們來看下面的例子

要判斷絕對值函數f

等於絕對值x

在x等於0可不可以微分

需要判斷這個極限是否存在

因為沒辦法直接求得這個極限

所以需分別考慮它的右極限和左極限

右極限為

左極限為

因此f在x等於0處的導數不存在

即f在x等於0不可微

從這個例子我們可以發現

函數在其定義域中的點

不一定可微分

接著我們觀察絕對值函數

f等於絕對值x的圖形

在x等於0的右邊為函數

f等於x的部份圖形

每一個點的切線斜率皆為1

在x等於0的左邊則為函數

f等於-x的部份圖形

每一個點的切線斜率皆為-1

但在x等於0這個點的圖形是一個尖點

從這個例子我們發現

函數在其圖形的尖點處不可微分

請同學做一道練習

若在函數f定義域中的每一個實數a

其導數f'均存在

則從a對應到f'的對應關係

稱為f的導函數

記作f'

由原函數f求導函數f'的過程

稱為將f微分

函數在定義域中的點不一定可微分

例如絕對值函數f等於絕對值x

在x等於0不可微分

同學們可想想看

雖然f等於絕對值x

在x等於0不可微分

但f等於絕對值x

在x等於0以外的點可微分嗎

請仔細觀察f等於絕對值x的圖形

以及前面出現過的例子

並直觀地比較函數圖形上

可微分的點與函數圖形上

不可微分的點

有什麼不同的特性

這個問題的答案

留給大家自己探索

這個單元裡

我們學習了導函數的概念

也利用導數的極限定義

練習求導函數的例子

我們好奇的是

常數函數

單項多項式函數

一般的多項式函數的導函數

是否有比較簡便的求法或公式

這些函數和它們的導函數之間

有什麼關係呢

下個單元裡

我們將討論這些問題

並推導出常見函數的微分公式