在上一個單元中

我們透過導數的定義

來求多項式函數的導數與導函數

但同學會發現

每次推導的過程顯得繁瑣

因此接下來的單元裡

我們將陸續推導出

常見函數的微分公式

使微分的運算更為簡便且容易

這個單元中我們將推導出常數函數

單項多項式函數

以及根式函數的導函數公式

往後處理求導數或導函數問題時

就可以直接使用這些公式了

在開始推導公式前

我們先回顧 複習導數的定義

設函數f在包含a的開區間上皆有定義

若極限存在

則稱此極限為函數f在x等於a的導數

記作f'

即

關於常數函數的導函數

我們先從幾何觀點來思考

因為常數函數的圖形是一條水平線

所以通過任一點的切線斜率都是0

即每一點的導數恆為0

因此其導函數必為零函數

接著我們實際推導出上述的結果

已知f等於c是一個常數函數

試推導f'等於0

設a為任意實數

則f等於c在x等於a的導數為

因此f'等於0

從上面的推導我們知道

任意常數函數的導函數皆為零函數

接下來練習一個求常數函數導函數的例子

推導出常數函數的導函數後

我們接著考慮單項多項式函數

設n為正整數

且f等於x的n次方

則f'等於n乘以x的n減1次方

設a為任意實數

則f等於x的n次方

在x等於a的導數為

利用綜合除法可得

則

所以f'等於n乘以x的n減1次方

因此我們推導出單項多項式函數的導函數公式

同學請注意

我們觀察單項多項式函數的微分公式會發現

函數f等於x的n次方的導函數

仍為單項多項式

其中原本x的n次方的次方中的n

先乘下來後

再把原次方n減1

所得的新函數即為

f等於x的n次方的導函數

接著我們來看一個例子

設f等於x的4次方

試求f'以及f在x等於2的導數

解答

利用單項多項式函數的微分公式可知

f'等於4乘以x的4減1次方

等於4x的3次方

將x等於2代入可得

f在x等於2的導數

f'等於4乘以2的3次方

等於32

請同學做一道練習

接下來我們推導出根式函數的導函數

設f等於根號x

試求f'

因為函數f等於根號x的定義域

包含所有的非負實數

而x等於0為函數圖形的端點

所以我們考慮任意正實數a

由導數的定義得

代入得

先有理化整理得

約去分子分母的公因式x減a後

再取極限

因此我們推導出

f等於根號x的導函數公式

其中x大於0

如果我們把f等於根號x

寫成指數的型式

可得f等於根號x

等於x的2分之1次方

觀察上述的微分公式會發現

它也符合前面提過的

單項多項式函數微分公式的規則

事實上當n為大於2的正整數時

我們也可以用類似的方法

求出f等於x的n分之1次方的導函數為

f'等於n分之1乘以

x的n分之1減1次方

它也符合上述規則

這部份的推導

留給有興趣的同學自行練習

接著我們來做一個練習

常數函數的導函數

設f等於c為常數函數

則f'等於0

單項多項式函數的導函數

設n為正整數

且f等於x的n次方

則f'等於n乘以x的n減1次方

根式函數的導函數

設f等於根號x

則f'等於2分之1乘以x的-2分之1次方

前面的單元中

我們學過函數極限的加減

和係數積等運算性質

回顧本單元推導微分公式的過程

都是從導數的定義出發

而導數的定義又涉及了求函數極限

現在同學可以應用

函數極限四則運算的性質去思考

兩個可微分函數經過加減乘除

形成新的函數

還是可微分函數嗎

這個答案將會在以後的影片說明

同學們也可以思考

有了微分的係數積

和加減性質後

又該如何從本單元中所推導出的

單項多項式函數的微分公式

進一步擴展成一般多項式函數的

微分公式呢

這也是下個單元我們所要探討的主題

下個單元我們將繼續推導出

微分的加減及係數積等運算性質

並介紹多項式函數的導函數公式