前面的單元中我們介紹了 導函數的定義 並推導出常數函數的微分公式 與單項多項式函數的微分公式 這些常見函數的微分公式 使微分的運算更為簡便且容易 這個單元中 我們將繼續推導出 函數係數積 與兩函數加減 等微分運算性質 接著利用這兩個性質 搭配前面單元學過的 單項多項式函數 與常數函數的微分公式 可進一步推導出 多項式函數的微分公式 方便我們對多項式函數作微分 求其導數與導函數 複習單項多項式函數的微分公式 關於函數係數積的導函數 我們先從幾何的觀點來思考 觀察函數f等於x的圖形 為斜率為1的直線 因此在任一點的切線斜率皆為1 即f等於x在任意點的導數皆為1 故f等於x的導函數為f' 等於1 再觀察函數cf等於cx 在任一點的切線斜率皆為c 即cf等於cx在任意點的導數皆為c 故cf等於cx的導函數為 )'等於c 因此我們猜測 函數cf的導函數 為f導函數的c倍 接著我們推導出上述猜測的結果 設f為可微分函數 且c為常數 試證明cf為可微分函數 且)'等於cf' 設a為任意實數 則cf在x等於a的導數為 因此cf為可微分函數 且)'等於cf' 從函數係數積的微分性質可看出 函數cf的係數c 可以在微分時直接提出 亦即可微分函數f乘以c倍的導函數 恰為f的導函數乘以c倍 接著我們來看一個例子 設f等於4x三次方 試求f' f的微分等於 利用函數係數積的微分性質得 利用單項式函數的微分式得 等於12x平方 再練習一個對函數係數積微分的例子 關於兩函數和的導函數 我們先從下面例子觀察 f等於x的導函數為f' 等於1 g等於2x的導函數為g' 等於2 且h等於3x的導函數為h' 等於3 又h'等於3x等於x加2x 且h'等於3等於1加2 因此我們猜測 函數f加g的導函數 為f的導函數加上g的導函數 接著我們推導出上述猜測的結果 設f與g皆為可微分函數 則f加g與f減g 皆為可微分函數 且加g)' 等於f'加g' 減g)' 等於f'減g' 設a為任意實數 則f加g在x等於a的導數為 因此加g)'等於f'加g' 利用上述結果與函數係數積的微分性質 可得 上述兩函數加減的微分性質可看出 兩個可微分函數f與g 相加或相減後依然為可微分函數 且其導函數恰為兩函數的導函數相加或相減 重複利用兩函數和的微分性質 可再推得 任意n個可微分函數和的微分 等於這n個函數微分之和 接著我們來看一個例子 設f等於4x的三次方減3x平方 試求f' f的微分等於 利用兩函數相減的微分性質得 利用函數係數積的微分性質得 利用單項多項式函數的微分公式得 等於 有了前述四個微分公式後 我們可以對任意的多項式函數進行微分 這裡先用一個簡單的例子說明 給定多項式函數 f等於4x三次方減3x平方加2x減1 則f的微分等於 利用兩函數相加的微分性質得 利用係數積的微分性質得 利用單項多項式函數 與常數函數的微分公式得 等於 同理我們可推導出 多項式函數的微分公式 設f為n次多項式函數 則f'等於 接著我們來看一個例子 已知函數f等於x的五次方減2x四次方 加3x三次方減4x平方加5x減6 試求 第題 f' 第題 f在x等於1的導數 利用導函數公式可得 將x等於1代入即可得 f在x等於1的導數 再做一個練習 求多項式函數的導函數與導數 函數係數積的微分性質 設f為可微分函數 且c為常數 則cf為可微分函數且 即可微分函數乘上一個 常數係數的導函數 等於其導函數乘上這個常數係數 兩函數加減的微分性質 設f與g皆為可微分函數 則f加g與f減g 皆為可微分函數且 即兩個可微分函數的和或差的導函數 等於這兩個函數分別微分後的和或差 多項式函數的微分公式 設f為n次多項式函數 則f的導函數f'為 這個單元裡我們介紹了 函數係數積的微分性質 以及兩函數加減的微分性質 後續的單元中 我們將再推導出 兩函數乘積的微分公式 與兩函數商的微分公式 同學可以先想想 兩函數乘積與商的微分公式 是否會如同 和與差的微分公式一樣簡單呢 這個單元裡我們推導出 兩函數係數積與兩函數加減 等微分的運算性質 也推導出多項式函數的微分公式 往後需要多項式函數的導函數 或求多項式在特定點的導數時 就可以直接利用本單元學到的微分公式 不需要再從定義推導 此外多項式函數是常見而重要的函數 同學務必熟悉它的微分公式 後面的單元中還會經常用到