前面的單元中我們介紹過

函數在特定點連續的概念

以及函數在特定點導數存在

可微分的意義

其中當f在a的右極限

等於f在a的左極限

等於f時

f在x等於a連續

當limit x趨近於a

x減a分之f減f存在時

f在x等於a可微分

同時並不是所有函數

在其定義域中的每一個點都可微分

我們好奇的是

函數f在x等於a處連續

與在x等於a處可微分之間

有什麼關係呢

更明確地說

若函數f在x等於a連續

則f在x等於a一定可微分嗎

反之若f在x等於a可微分

則f在x等於a一定連續嗎

這是這個單元我們所要探討的問題

前面的例子說明了絕對值函數

f等於x絕對值在x等於0連續

但是當考慮f等於x的絕對值

在x等於0的導數時則會發現

f在x等於0處不可微

因此當函數f在x等於a連續時

f在x等於a不一定可微

再練習一個判斷函數在特定點

是否連續與可微分的例子

前面的例子中

f等於x的絕對值

在x等於0連續

但f等於x的絕對值

在x等於0處不可微

因此函數在某一點連續

並不能保證在該點可微分

反過來看

當f在x等於a可微分時

f在x等於a是否會連續嗎

我們回到f等於x絕對值的圖形

在x等於0的右邊

為函數f等於x的部份圖形

每一個點的切線斜率皆為1

在x等於0的左邊

則為函數f等於-x的部份圖形

每一個點的切線斜率皆為-1

因此無論是在x等於0的左邊

或右邊的每個點

都可以微分

同時當我們觀察圖形也可發現

無論是x等於0的左邊或右邊的圖形

都是連續不間斷的

因此在這個例子中

函數f等於x的絕對值可微分的點

都連續

若再觀察我們熟悉的多項式函數

多項式函數圖形的每個點都可微分

且多項式函數是連續函數

每個點都連續

因此多項式函數可微分的點都連續

基於這些例子與觀察

我們猜測

若f在x等於a可微

則f在x等於a連續

接著我們證明這個猜測

試證明若函數f在x等於a處可微分

則f在x等於a處連續

因為f在x等於a處可微分

所以f在x等於a的導數f'存在

當x不等於a時

可以把f改寫成

f等於x減a分之f減f

乘上括號x減a加f

此時利用極限的四則運算性質

可得

等於

因此f在x等於a處連續

由上面的性質可知

若函數f在x等於a處可微分

則f在x等於a處連續

又因為可微分函數

在其定義域中的每一點都可微分

所以在定義域中的每一點都連續

因此可微分函數必為連續函數

函數f等於x的絕對值

在x等於0連續

但在x等於0不可微

函數在某一點連續

但在這個點不一定可微分

若函數f在x等於a可微

則f在x等於a一定連續

若函數在某一點可微分

則在這個點必連續

若函數f在x等於a可微

則f在x等於a連續

因此可微分函數必是連續函數

當函數f在x等於a連續時

f在x等於a不一定可微

因此連續函數不一定是可微分函數

函數在某一點連續

並不保證可微分

同學們可能會好奇

還需要符合什麼條件才可微分呢

觀察函數f等於x絕對值的圖形

在x等於0連續

但圖形為一尖點不可微

然而圖形在x等於0以外的點都可微分

且圖形都是平滑的

再觀察多項式函數的圖形

多項式函數f在定義域中的

每個點都可微分

且圖形在每個點附近

也都是平滑的

事實上若函數f在x等於a連續時

則在這點附近的圖形必須是平滑才可微分

這個單元中我們討論了

函數連續性與可微分性的關係

首先舉例說明絕對值函數

f等於x的絕對值

在x等於0連續

但在x等於0不可微

因此當函數在某一點連續時

在這個點不一定可微分

接著我們證明了

若函數f在x等於a處可微分

則f在x等於a處一定連續

因此可微分函數必為連續函數

瞭解了函數連續性

與可微分性之間的關係後

下個單元中

我們將會用到可微則連續這個性質

證明兩函數乘積與商的微分公式