前面的單元中 我們介紹過函數係數積的微分性質 以及兩函數加減的微分運算性質 同學可能會好奇 兩個可微分函數的乘積與商 是否還是可微分函數 同時它們的導函數公式是否和 兩函數相加減的微分性質一樣簡單呢 這個單元中 我們將繼續利用導數的定義 推導出兩函數乘積 與兩函數商的微分公式 有了這些公式之後 方便我們求兩個可微分函數 其和 差 積與商的導函數 利用函數係數積 與兩函數差的微分性質 再搭配多項式函數的微分公式 可得 兩個可微分函數相加減的導函數 等於它們的導函數相加減 那兩個可微分函數乘積的導函數呢 我們先來看一個例子 考慮f等於x 則f乘以f的微分 等於x乘以x的微分 等於x平方的微分 等於2x 但是f的微分乘以f的微分 等於x的微分乘以x的微分 等於1乘以1等於1 不等於2x 因此兩個可微分函數乘積的微分 並不等於各自微分後的乘積 接下來我們利用導數的定義 推導出兩個可微分函數乘積的微分公式 已知f與g皆為可微分函數 令積函數h等於f乘g 設a為h定義域中的實數 則h在x等於a的導數為 分子先減掉f乘g 再加上f乘g 前2項中的g可提出來 後2項中的f也可提出來 此時可拆成兩式 因為f與g皆可微分 所以limit x趨近於a x減a分之f減f 等於f' 且limit x趨近於a x減a分之g減g 等於g' 又因為g在x等於a可微分 所以g在x等於a處連續 因此limit x趨近於a g 等於g 則上式可化為 故 即f乘g為可微分函數 且知f乘g的微分 等於f的微分乘以g 加f乘以g的微分 我們推導出兩個函數乘積的微分公式 接著我們來看一個例子 若f等於x的三次方加2x減1 g等於x平方加x 試求f乘g的導函數 f乘以g的微分等於 f的微分乘以g加f乘以g的微分 等於 利用多項式的微分公式得 展開整理得 再練習一個例子 兩個可微分函數乘積的微分 並不等於各自微分後的乘積 那兩個可微分函數的商呢 我們先來看一個例子 考慮f等於x平方 g等於x 則 f除以g的微分 等於x平方除以x的微分 等於x的微分等於1 但是f的微分除以g的微分 等於x平方的微分除以x的微分 等於2x除以1等於2x 不等於1 因此兩個可微分函數商的微分 並不等於各自微分後的商 接下來我們利用導數的定義 推導出兩個可微分函數 商的微分公式 已知f與g皆為可微分函數 令商函數h等於f除以g 設a為h定義域中的實數 則h在x等於a的導數為 整理得 分子先減掉f乘g 再加上f乘g 前2項中的g可提出來 後2項中的f也可提出來 此時再提出分母的g乘g 並可拆成兩式 因為f與g皆可微分 所以limit x趨近於a x減a分之f減f 等於f' 且limit x趨近於a x減a分之g減g 等於g' 又因為g在x等於a處可微分 所以g在x等於a處連續 因此limit x趨近於a g 等於g 則上式可化為 故 我們推導出兩函數商的微分公式 接著我們來看一個例子 已知f等於x平方減2x加3 g等於2x減1 令h等於f除以g 試求 第題 h' 第題 h' 解答 第題 利用商的微分公式 可得h的導函數為 第題 h'等於 再練習一個例子 在商的微分公式中 若分子f是常數1 則因為常數函數的導函數是0 故可得 例如函數x分之1的微分 等於-x平方分之1 即x的-1次方的'等於 -x的-2次方 再練習一個例子 仿照前面例子的方法 利用商的微分公式 可推導出下列微分公式 若f等於xn次方分之1 等於x的-n次方 其中n為正整數 則f'等於-nx-n減1次方 再結合前面學過的 單項多項式函數的微分公式 可得當n為整數時 x的n次方的微分 等於n乘以x的n減1次方 兩函數乘積的微分公式 若f與g皆為可微分函數 則f乘以g為可微分函數 且 兩函數商的微分 若f與g皆為可微分函數 且g不等於0 則f除以g為可微分函數 且 單項式當指數為整數時的微分公式 當n為整數時 x的n次方的導函數 等於n乘以x的n減1次方 這個單元中我們學到 兩個函數乘積的微分公式 同學們也許會好奇 當推廣到三個或更多個 可微分函數的乘積時 它的微分公式是否也有類似的模式呢 首先設f g與h皆為可微分函數 則f乘g乘h 可看成f乘以g與h 這兩個可微分函數的乘積 所以三個函數相乘的微分等於 利用兩函數相乘的微分公式得 再利用f乘以g的微分公式可得 展開可整理得 亦即三個函數相乘後的導函數 等於輪流對三個函數之一微分 乘上另外兩個函數 再加總 上述的結果可再繼續推廣到 任意n個可微分函數乘積的微分 這個問題留請有興趣的同學 自行思考與研究 這個單元裡 我們推導出兩個可微分函數乘積 與商的微分公式 以及單項式函數 當指數為整數時的微分公式 綜合前面學過的結果 兩個可微分函數的和 差 積 商 依然是可微分函數 且它們的導函數 都能透過微分公式求出 這些公式將來學習微分的相關應用時 都會再使用到 同學們一定要好好熟練喔