多項式函數 三角函數 指數與對數函數 是高中階段與微積分學中的 重要基本函數 前面的單元中 我們學過多項式函數的導函數 本單元中將繼續介紹 六個三角函數的導函數 首先我們觀察正弦函數 在區間的圖形 前面的單元學過 函數f在x等於a的導數 即以點)為切點的切線之斜率 而在原點附近 y等於sin x的圖形 近似於斜率為1的直線y等於x 因此y等於sin x圖形 在x等於0附近的導數值接近1 接著觀察圖形會發現 當x從0到2分之π時 切線斜率皆為正且會逐漸變小 而當x等於2分之π時 切線斜率為0 當x從2分之π到π時 切線斜率皆為負且同樣逐漸變小 又當x等於π時 切線斜率為-1 從上述觀察發現 y等於sin x在區間中的導數值 從1逐漸變小至0 再逐漸變小至-1 似乎與函數y等於cos x在區間中的值 有著類似的關係與趨勢 因此我們好奇 正弦函數y等於sin x的導函數 是否和餘弦函數y等於cos x有關呢 為了回答上述問題 我們先介紹兩個與三角函數相關的 重要極限性質 利用這兩個極限 進一步推導出正弦與餘弦函數的導函數 接著利用兩函數商的微分公式 推導出其它三角函數的導函數 為了推導出正弦函數與餘弦函數的導函數 我們先介紹兩個與三角函數有關的重要極限 推導這兩個極限的過程 需要用到一個重要的不等式 當x大於-2分之π小於2分之π 且x不等於0時 x的絕對值大於sin x的絕對值 小於tan x的絕對值 但由於本單元篇幅與時間的限制 我們在此不證明這個不等式 接下來我們利用這個不等式 推導出極限 limit x趨近於0 x分之sin x等於1 由前面的性質可知 當x大於-2分之π小於2分之π 且x不等於0時 x的絕對值大於sin x的絕對值 小於tan x的絕對值 同除以sin x的絕對值得到 同取倒數可得 因為cos x大於0 且當x大於-2分之π小於2分之π時 sin x與x同號 所以 又limit x趨近於0 1等於1 且因為y等於cos x是連續函數 所以y等於cos x在x等於0連續 故limit x趨近於0 cos x 等於cos 0 等於1 利用函數的夾擠定理 可得limit x趨近於0 x分之sin x等於1 而上述limit x趨近於0 cos x等於1這個極限 同學也可以利用不等式 與夾擠定理來證明喔 這個問題留給同學自行思考 利用第1個極限我們可推導出 limit x趨近於0 x分之1減cos x等於0 當x大於-2分之π小於2分之π 且x不等於0時 由平方關係得 sin平方x等於1減cos平方x 等於括號1加cos x乘上括號1減cos x 整理得1減cos x等於1加cos x分之sin平方x 因此 利用極限的運算性質得 因為y等於sin x是連續函數 所以y等於sin x在x等於0連續 故limit x趨近於0 sin x等於sin 0 等於0 得limit x趨近於0 1加cos x分之sin x 等於0 則 故得證limit x趨近於0 x分之1減cos x等於0 有了這兩個極限後 就能推導出正弦與餘弦函數的導函數了 回顧前面的單元中 我們學過導數的定義 在此定義中 若令x減a等於h 即x等於a加h 則x趨近於a相當於h趨近於0 此時可將前述導數定義中的式子 進行變數代換 將x等於a加h代入得 整理得 因此我們也可利用 來定義導數 即f'等於limit x趨近於0 h分之f減f 接下來我們利用上述的導數定義 來求正弦函數的導函數 設x為任意實數 由導數的定義得 '等於limit x趨近於0 h分之sin減sin x 利用正弦的和角公式 將sin展開可得 整理後可得 可化為 利用極限的運算性質可得 利用三角函數的極限性質可得 因此'等於cos x 即正弦函數的導函數恰為餘弦函數 這符合我們一開始的觀察 接著請同學練習推導出 餘弦函數的導函數 推導出正弦與餘弦函數的導函數後 因為正切 餘切 正割 與餘割函數等四個三角函數 都是正弦與餘弦函數的分式 所以它們的導函數都可以利用 兩函數商的微分公式來求得 試推導'等於sec平方x 設x屬於tan x的定義域 因為tan x等於cos x分之sin x 利用兩函數商的微分公式可知 利用正弦與餘弦函數的微分公式得 整理得 利用平方關係得 故'等於sec平方x 接著請同學練習推導 餘切函數的導函數 我們繼續推導正割函數的導函數 試推導'等於tan x乘sec x 設x屬於sec x的定義域 因為sec x等於cos x分之1 利用兩函數商的微分公式可知 利用常數函數與餘弦函數的微分公式得 整理化簡得 故得'等於tan x乘sec x 接下來請同學練習推導 餘割函數的導函數 兩個與三角函數有關的極限 六個三角函數的導函數 '的導函數為cos x '的導函數為-sin x '的導函數為sec平方x '的導函數為-csc平方x '的導函數為tan x乘sec x '的導函數為-cot x乘csc x 觀察本單元所推導出 六個三角函數的導函數公式 是否發現這些公式之間 有什麼樣的關係呢 同學可能會好奇 如何透過這些關係 幫我們理解並記憶這些公式呢 首先sin x與cos x的微分公式可視為一組 tan x與cot x的微分公式可視為一組 sec x與csc x的微分公式可視為一組 sin x的導函數是cos x 而cos x的導函數 只需將sin x的導函數cos x 改為sin x再加上負號 即可得cos x的導函數為-sin x 有了正切函數的導函數之後 餘切函數的導函數 只需把正切函數導函數中的sec x 改為餘函數csc x 再加上負號 即可得餘切函數cot x的導函數 為負sec x的平方 類似地餘割函數的導函數 只需把正割函數導函數中的tan x 與sec x分別改為 餘函數cot x與csc x 再加上負號 即得餘割函數csc x的導函數 為負的cot x乘csc x 這個單元中 我們先介紹兩個與三角函數 有關的重要極限性質 利用這兩個極限搭配和角公式 可推導出正弦函數與餘弦函數的導函數 接著利用兩函數商的微分公式 可進一步推導出 另外四個三角函數的導函數 這六個微分公式兩兩一組 同學們可透過延伸思考中 所提到的規則 來記憶這六個公式喔 三角函數的導函數 在將來大學階段的微積分 物理學 與工程相關領域中會再出現 並可用來處理物理與工程等 現實世界中的問題