前面的影片曾介紹 積函數的微分公式 利用這個公式可以微分 f等於括號x的3次方加1的平方 f'等於括號x3次方加1的微分 乘以括號x3次方加1 加上括號x3次方加1 乘以括號x3次方加1的微分 等於2乘以括號x3次方加1 乘以括號x3次方加1的微分 等於2乘以括號x3次方加1 乘以括號3x平方 對於函數f等於x3次方加1的平方而言 也可以用合成函數的形式來表示f 我們令u等於g等於x3次方加1 h等於u平方 那麼f等於h) 等於h 等於括號x3次方加1的平方 我們觀察f的導函數 與h g導函數的關係 因為h'等於2u g'等於3x平方 f在x等於a的導數f' 等於2乘以括號a的3次方加1 乘以括號3a的平方中 2乘以括號a的3次方加1 等於2g 等於h') 而3a平方等於g' 也就是說f在x等於a的導數 會等於h在u等於g的導數 乘上g在x等於a的導數 即f'等於h')乘以g' 因此我們可以用h g的導函數 來表示f的導函數 即f'等於h')乘g' 這就是我們這部影片 要介紹的微分公式連鎖律 連鎖律是關於合成函數的微分法則 在正式介紹連鎖律之前 先做一個將函數表成合成函數的測驗 接下來我們介紹合成函數的 微分法則連鎖律 若函數g在x等於a可微分 函數h在u等於g可微分 則合成函數f等於h) 在x等於a可微分 且f在x等於a的導數 等於h在u等於g的導數 與g在x等於a導數的乘積 用導數的符號可表為 f'等於h')乘以g' 我們用差商來討論連鎖律 f在x等於a的差商等於 f減f除以x減a 等於h)減h) 除以x減a 等於h)減h) 除以g減g 再乘以g減g除以x減a 等於h減h)除以u減g 乘以g減g除以x減a 此處我們假設在x等於a附近 g不等於g 因為u等於g在x等於a可微分 所以g在x等於a連續 可得limit x趨近於a g等於g 因此limit x趨近於a h)減h)除以g減g 等於limit u趨近於g h減h)除以u減g 等於h') limit x趨近於a x減a分之g減g趨近於g' 上述的過程中 都有做了x等於a附近 g不等於g的假設 但是若x等於a附近 發生g等於g的情形 f'等於h')乘以g' 仍然會成立 本部影片就不做說明了 請同學自行思考探索 根據對差商取極限後計算的結果 合成函數f等於h)的導函數 可以表為f'等於h')乘以g' 這裡值得注意的是 h')是h針對變數u微分 然後u再代入g 而不是對變數x的微分 我們可以用萊布尼茲的符號 來描述連鎖律 令u等於g y等於h等於f 那麼連鎖律f'等於h')乘上g' 可以表為 dx分之dy等於du分之dy 乘以dx分之du 接下來我們舉例求合成函數的導函數 例題 設f等於x平方加2x加3括號的4次方 利用連鎖律微分f 首先將f表成合成函數的形式 令g等於x平方加2x加3 h等於u的4次方 因此f等於h) 而g'等於2x加2 h'等於4乘以u的3次方 根據連鎖律 f的導函數 f'等於h')乘上g' 等於4乘以括號x平方加2x加3的3次方 乘以括號x平方加2x加3的微分 等於4乘以括號x平方加2x加3的3次方 乘以括號2x加2 解法 第題 令g等於x3次方加x平方減2x h等於u的8次方 則f等於h) f'等於h')乘上g' 等於8乘以x3次方加x平方減2x括號的7次方 乘以括號x3次方加x平方減2x的微分 等於8乘以x3次方加x平方減2x括號的7次方 乘以括號3x平方加2x減2 第題 f'等於8乘以括號-1加1加2的7次方 乘以括號3減2減2 等於-1024 將前面討論的內容整理如下 合成函數的微分法則 連鎖律 一、若函數g在x等於a可微分 函數h在u等於g可微分 則合成函數f等於h) 在x等於a可微分 且f'等於h')乘以g' 二、合成函數f等於h)的導函數 可以表為f'等於h')乘以g' 若令u等於g y等於h等於f 連鎖律用萊布尼茲的符號可表為 dx分之dy等於du分之dy 乘以dx分之du 本影片介紹了連鎖律 請同學試試看 如何應用連鎖律將函數 G等於f的n次方微分 其中f為可微分函數 n為正整數