前面的影片已經介紹了導函數的概念 透過導函數 可以求出函數在某一點的導數 而導數代表函數在某一點 函數值的變化率 例如 一個質點位移S與時間t的關係式為 S等於2乘以t的3次方 加t的2次方 其中t大於等於0 S'等於6乘以t的平方加2t 代表質點的速度函數 因此可以求質點在t等於2時的速度 S'等於28 若我們要進一步探討 質點在t等於2的加速度 因為加速度是速度對時間的變化率 故質點在t等於t 的加速度為 limit t趨近於t t減t 分之S'減S' 等於函數S'在t等於t 的導數 因此可求速度函數S' 等於6乘以t平方加上2t的導函數 S'的'等於12t加2 這個函數就是質點的加速度函數 所以質點在t等於2的加速度為 12乘以2加2等於26 上述的過程相對於S來說 S'是將S微分一次 而S'的'則是將S微分兩次 我們會用符號S''來表示S'的' 即S''等於S'的導函數 而我們稱S'與S'' 分別為S的一階導函數 與二階導函數 這些導函數就是本部影片 要探討的高階導函數 探討高階導函數前先做個練習 設f為可微分函數 求出導函數f'之後 若f'還是可微分函數 那麼可以繼續對f'微分 我們稱f'的導函數 為f的二階導函數 記為f'' 而f'則稱為一階導函數 上述過程也可以用在 二階導函數f''上 f''的導函數為f的三階導函數 記為f''' 以此類推 可以定義f的n階導函數 記為f的n階導函數 相對的f' f'' f''' 則可以稱為f在x等於a的 一階 二階與三階導數 我們舉個例題來說明 令f等於x4次方減2x3次方 加x平方減7x加1 則f'等於4x3次方減6x平方加2x減7 f''等於12x平方減12x加2 利用二階導函數可以求得 f在x等於1的二階導數 f''等於12減12加2等於2 之前高一的影片中 我們曾利用綜合除法 將多項式f表示成x減a的多項式 例如 三次多項式f可以用綜合除法表成 f等於p乘以括號x減a的3次方 加q乘以括號x減a的平方 加r乘以括號x減a加s 所以f'等於3p乘以括號x減a的平方 加2q乘以括號x減a加r f''等於3乘以2乘以p乘以括號x減a 加2乘以1乘以q f'''等於3乘以2乘以1乘以p 將x等於a代入f f' f'' f''' 可得s等於f r等於f' 2的階乘乘以q等於f'' 3的階乘乘以p等於f''' 因此f化成x減a的多項式後 係數p q r可以用f的三階 二階 一階 在x等於a的導數來表示 即p等於3階乘分之f''' q等於2階乘分之f'' r等於f' 且s等於f 事實上若將n次多項式函數f 表成x減a的多項式 令f等於a 乘以括號x減a的n次方 加a 乘以括號x減a的n減1次方 一直加到a 乘以括號x減a加a 那麼我們可以用f在x等於a的高階導數 來表示係數a a 一直到a 這個部分的探討本影片就不詳加說明 之前高一的影片中 我們曾學習利用綜合除法 將多項式f表為x減a的多項式 根據前面的做法 我們可以使用高階導數 來表示x減a多項式的係數 我們舉例來說明 設f等於3x3次方減2x平方加8x減4 化成x減2的多項式如下 f等於a乘以括號x減2的3次方 加b乘以括號x減2的平方 加c乘以括號x減2加d 試求係數a b c d 解答 我們求f的一階 二階與三階導函數 f'等於3a乘括號x減2的平方 加2b乘括號x減2加c 等於9x平方減4x加8 f''等於6a乘括號x減2加2b 等於18x減4 f'''等於6a等於18 因此我們可以求得係數a b c d d等於f等於28 c等於f'等於36 2b等於f''等於32 b等於16 6a等於f'''等於18 a等於3 所以係數a等於3 b等於16 c等於36 d等於28 故f化成x減2的多項式為 f等於3乘以括號x減2的3次方 加16乘以括號x減2的平方 加36乘以x減2加28 我們將前面討論的結果整理如下 一、設函數f為可微分函數 若f'是可微分函數 則f'的導函數為f的二階導函數 記為f'' 若f''是可微分函數 則f''的導函數f''的'為f的三階導函數 記為f''' 若f的n減1階導函數是可微分函數 則定義f的n減1階導函數的導函數 為f的n階導函數 記為f的n階導函數 二、三次多項式f可以表成 f等於p乘以括號x減a的3次方 加q乘以括號x減a的平方 加r乘以括號x減a加s 係數p q r s可以用 f在x等於a的高階導數表示如下 p等於3階乘分之f''' q等於2的階乘分之f'' r等於f' 且係數s等於f 根據前面影片的探討 請同學思考以下問題 若將n次多項式函數f 表成x減a的多項式 f等於a 乘以括號x減a的n次方 加a 乘以括號x減a的n減1次方 一直加到a 乘以括號x減a加a 同學可以仿照影片中的方法 思考並推導x減a括號的k次方的係數a 與f的k階導數f的k階導數的關係 解答 連續對f微分k次可得 k乘以括號k減1乘以括號k減2 一直乘到3乘2乘1乘a 等於f的k階導數 也就是a 等於k階乘分之f 在x等於a的k階導數