前面影片已經介紹

函數f圖形上

以)為切點的切線斜率

就是f在x等於a的導數f'

因此切線方程式為

y減f等於f'乘以括號x減a

本部影片會用一些實例說明

如何求函數圖形的切線方程式

在前面的影片中

討論圓的切線

常常用到的概念是

圓的切線與圓只有一個交點

與圓交於一點的直線就是切線

但是函數圖形的切線也會這樣嗎

切線與函數圖形

只交於一點嗎

與函數圖形只交於一點的直線

就是切線嗎

我們會用實例來討論這些問題

在介紹實例前

先做個課前測驗

現在讓我們開始吧

首先先看第一個例題

P點為函數

f等於x3次方減3x平方減4x加1上的點

試求以P為切點的切線方程式

根據前面的說明

切線斜率為f'

而f'等於3x平方減6x減4

所以f'等於3乘以-1的平方

減6乘以-1減4等於5

又切線過切點

因此切線的方程式為

y減1等於5乘以括號x加1

我們觀察函數圖形切線

與f的圖形相交於切點P

與Q

因此在某一點的切線

可能會與函數圖形不只交一個點

在過去介紹圓的切線都會提到

切線與圓只有一個交點

這是圓的特殊性質

對於一般函數圖形的切線

不一定會成立

另一方面與函數圖形交於一點的直線

未必是切線

例如f等於x平方在的切線

是y等於2x減1

而x等於1與y等於x平方交於

但是顯然x等於1並不是切線

因此與函數圖形交於一點

並不是切線的普遍特性

對於函數f圖形上某一點)的切線

還是要以判斷f'的存在與否

作為判斷標準

函數圖形求切線的方法

還可以應用在求通過

圖形外一點的切線方程式

舉例說明

設f等於x平方加x加1

試求通過函數f圖形外一點

P的切線方程式

因為P點不是切點

因此f'不是切線的斜率

所以我們要先將切點表示出來

由於切點在圖形上

我們令切點A為

以A為切點的切線斜率為

f'等於2t加1

因此切線方程式可以表為

y減括號t平方加t加1

等於括號2t加1乘括號x減t

這個方程式中x y是未知數

而t是待求的常數

到底t要等於多少呢

因為切線要通過P點

因此將x等於1 y等於2代入切線方程式

得到2減括號t平方減t加1

等於括號2t加1乘括號1減t

整理成t平方減2t等於0

解得t等於0或2

當t等於0時

切點A

切線斜率f'等於1

切線方程式為

y減1等於1乘以括號x減0

當t等於2時

切點A

切線斜率f'等於5

切線方程式為

y減7等於5乘以括號x減2

所以通過P點的切線會有兩條

經由兩個例題的說明之後

接下來我們做個測驗

由前面的討論可知

切線不一定只與函數圖形相交於一點

是否有可能切線與函數圖形

有無限多個交點呢

同學可以試做以下的題目

深入思考這個問題

設f等於x平方乘sin x分之1

其中x不等於0

0 x等於0

試求下列各小題

第題 利用導數的定義

判斷f'是否存在

第題 若f'存在

求f在處的切線

第題 試問此切線與圖形

有幾個交點

前面我們討論求切線的方法

與觀念有以下幾個重點

若函數f在x等於a導數存在

則以)為切點的切線斜率

為f'

因此可以得到切線方程式

y減f等於f'乘括號x減a

函數圖形的切線

不一定只與圖形相交於一點

與函數圖形相交於一點的直線

未必是切線

影片中雖然都是以多項式函數

為例子來說明

事實上對於一般函數來說都會成立