前部影片介紹函數 f圖形的切線問題 若f'存在 那麼f在x等於a處的切線方程式為 y等於f'乘x減a加f 將切線視為一次函數 y等於L的圖形 其中L等於f'乘x減a加f 從圖形的角度來看 在x等於a附近 當x與a的距離愈來愈近 f的圖形與切線y等於L的圖形 也會很接近 所以甚至可以將y等於L的圖形 拿來近似f的圖形 根據這樣的想法 當x 與a很接近時 就可以用L來當成f的近似值 這就是本部影片想討論的主題 多項式函數的一次近似 接下來就讓我們開始進入主題吧 同學在高一時曾學過 多項式函數的一次近似的問題 例如f等於括號x減1的三次方 減2倍的x減1的平方 加3倍的x減1加2 在x等於1附近的一次近似 為y等於3倍的x減1加2 另一方面 f'等於limit x趨近於1 x減1分之f減f 等於limit x趨近於1 x減1分之括號x減1的三次方 減2倍的括號x減1的平方 加3倍的括號x減1 加2減2 等於limit x趨近於1 括號x減1的平方 減2倍的括號x減1 加3 等於3 因此f在x等於1附近的一次近似為 y等於f'乘以括號x減1加2 這是f在x等於1處的切線方程式 因此可知f在x等於1附近的一次近似 就是f在x等於1處的切線 當a很接近1的時候 那麼f與f'乘以括號a減1加2的值 會很接近 我們可用f'乘以括號a減1加2 當成f的近似值 例如f的值可以用 3乘以括號1.001減1加2 等於2.003來當近似值 前面實例的結果 對於一般的多項式函數也會成立 設f為n次多項式函數 連續使用綜合除法 可以將f表為x減a的多項式函數 f等於a 乘以括號x減a的n次方 加a 乘上括號x減a的n減1次方 依此類推一直加到 a 乘以括號x減a加a 這種形式的多項式函數 稱為f在x等於a的泰勒展開式 根據微分的法則與高階導數的意義 我們可以使用f在x等於a的高階導數 來表示x減a的k次方的係數 a 等於f在x等於a的k階導數 除以k的階乘 其中k等於1 2一直到n 特別是f在x等於a的一次導數 f'等於limit x趨近於a x減a分之f減f 等於limit x趨近於a x減a分之 a 乘以括號x減a的n次方 加a 乘以括號x減a的n減1次方 一直加到a 乘以括號x減a加a 減a 等於limit x趨近於a a 乘以括號x減a的n減1次方 加a 乘以括號x減a的n減2次方 一直加到a 乘以括號x減a加a 等於a 所以f在x等於a附近的一次近似 y等於a 乘以括號x減a加a 就是f在x等於a處的切線 y等於f'乘上括號x減a加f 當a很接近1的時候 可以用f'乘上括號x 減a加f 當成f的近似值 接下來舉一個實例 用一次近似估計函數值 在銀行存入100萬 月利率百分之0.1 兩年後的本利和為 100乘以括號1加0.001的24次方萬元 因為0.001很接近0 因此我們可以用0附近的一次近似 來估計1.001的24次方的近似值 我們先做以下問題 設多項式函數f等於括號1加x的24次方 試求下列問題 寫出f在x等於0附近的一次近似 第題 利用一次近似求括號1.001的 24次方的近似值 解答 第題 因為f在x等於0附近的一次近似 就是f在x等於0處的切線 而f'等於24乘以括號1加x的23次方 f'等於24 所以f在x等於0處的切線為y減1 等於24乘以括號x減0 故f在x等於0附近的一次近似 為y等於24x加1 第題 因為1.001的24次方等於f 可用24乘以0.001加1等於1.024 當成1.001的24次方的近似值 因此在銀行存入100萬 月利率百分之0.1 兩年後的本利和 100乘以括號1加0.001的24次方萬元 約為100乘以1.024 等於102.4萬元 從這個實例可以發現 當利率r很小時 n期的本利和A乘以括號1加r的n次方 可以用A乘以括號1加nr來估計 換句話說 我們可以用單利的本利和 來粗略估計複利的本利和 當然要注意這是在利率r很小時 才會比較準確 上述關於多項式函數的值 用一次近似的值來近似的想法與觀念 可以推廣到一般可以微分的函數 也就是說 若函數f在x等於a可微分 則f在x等於a處的切線 就是f在x等於a附近的一次近似 我們舉例來說明 設分式函數f等於1加x分之1 第題 試求f在x等於0附近的一次近似 第題 用第題的結果估計f的近似值 解答 第題 先微分f f'等於1加x分之1的' 等於1加x的平方分之 0減1乘以括號1加x的' 等於1加x的平方分之-1 f'等於-1 故在x等於0處的切線斜率為-1 f在x等於0附近的一次近似 為y等於-x加1 第題 利用一次近似的值 -0.001加1等於0.999 當成f的近似值 我們將前面討論的重點整理如下 多項式函數f在x等於a附近的一次近似 就是f在x等於a處的切線 當x 很接近a時 可以用一次近似的值 f'乘上括號x 減a加f 作為f的近似值 f表為x減a的多項式函數 f等於a 乘上括號x減a的n次方 加a 乘上括號x減a的n減1次方 以此類推一直加到a 乘以括號x減a加a 這種形式的多項式函數稱為 f在x等於a的泰勒展開式 其中x減a的k次方的係數 a 等於f在x等於a的k階導數 除以k的階乘 其中k等於1 2一直到n 若函數f在x等於a可微分 則f在x等於a處的切線 就是f在x等於a附近的一次近似 當x 很接近a時 可以用一次近似的值 f'乘上括號x 減a加f 作為f的近似值 根據影片介紹的概念 同學可以解釋以下的問題嗎 當x的絕對值很小時 請解釋下面的估計式是合理的 第題 1加x的n次方 約等於1加nx 其中n為正整數 第題 1加x的n分之1次方 約等於1加n分之1x n為大於1的正整數