解決日常生活中的實際問題 常遇到要解出方程式的實根 舉例來說 若小安打算向銀行貸款180000元 希望從下個月開始每個月還3750元 分五年還清 那麼月利率大約是多少呢 解決這個問題 相當於解48x乘以括號1加x的60次方 減掉括號1加x的60次方 加1等於0 其中x代表月利率 這個高次方程式 不像二次方程式有公式解 不容易解出真正的實根 那麼我們可以找實根的近似值嗎 本部影片要介紹的牛頓法 Newton's Method 就是一種很常見的演算法 使我們能方便使用計算機 求得方程式f等於0 實根的近似值 牛頓法的原理是不斷做切線 用切線與x軸的交點 估計實根的近似值 我們用圖形來解釋這個想法 因為求方程式f等於0實根的近似值 就是要估計f的圖形 與x軸交點的位置 設方程式f等於0 要估計的實根為a 先在a的附近找一個初始值a 考慮以)為切點的切線L1 L1的方程式為 y等於f'乘括號x減a 加f 若f'不等於0 可以求得L1與x軸交點的x座標為 a 減f'分之f 令a 等於a 減f'分之f 再以)為切點做切線L2 當f'不等於0時 同理可以求得L2與x軸交點的x座標為 a 減f'分之f 同樣可以令a 等於 a 減f'分之f 反覆操作前述步驟 當f'不等於0時 找切線 y等於f'乘以括號x減a 加f 與x軸的交點 則a 等於a 減f'分之f 根據這樣的遞迴步驟 會得一個數列a 它的每一項都是實根a的近似值 其遞迴關係式為 a 等於a 減f'分之f 使用牛頓法時 若f等於0是多項式方程式 只要選取夠接近實根a的初始值a 那麼遞迴次數愈多 數列a 確實會愈來愈接近實根a 這樣的遞迴方法 便於利用計算機求實根的近似值 接下來舉個例子 利用牛頓法估計三次方程式 x三次方加2x加4等於0的實根 精確至小數點後第四位 解法 令f等於x三次方加2x加4 因為f'等於3x平方加2大於0恆成立 所以f為嚴格遞增函數 故方程式f等於0恰有一個實根 利用牛頓法 可以得出遞迴數列a 其中遞迴關係式 a 等於a 減f'分之f 等於a 減3a 平方加2分之 a 三次方加2a 加4 又因為f等於-8減4加4 等於-8小於0 f等於-1減2加4等於1大於0 故實根落在-2與-1之間 選取a 等於-1 根據遞迴關係式 使用計算機可以求得 a 等於a 減3a 平方加2分之 a 三次方加2a 加4 等於-1.2 a 等於a 減3a 平方加2分之 a 三次方加2a 加4 約等於-1.179746835 a 等於a 減3a 平方加2分之 a 三次方加2a 加4 約等於-1.179509057 a 等於a 減3a 平方加2分之 a 三次方加2a 加4 約等於-1.179509025 觀察a 與a 我們就可以得知 x三次方加2x加4等於0的實根 精確至小數點後第四位 為-1.1795 我們將前面討論的內容整理如下 求函數f圖形一系列的切線 並且用遞迴方法 找切線與x軸交點 用以估計方程式f等於0實根的方法 稱為牛頓法 根據牛頓法會得到 近似實根的遞迴數列a 而遞迴關係式是 a 等於a 減f'分之f 影片開頭求月利率的問題 牽涉的方程式為 48x乘上括號1加x的60次方 減括號1加x的60次方 加1等於0 你可以利用牛頓法來估計月利率嗎