函數在某一點的導數有許多的應用 例如函數圖形求切線 物體運動位移的瞬時變化率等 除此之外 導數也可以探討函數圖形的一些特性 舉例來說 觀察多項式函數f等於 x乘括號x加1乘括號x減2的圖形 此圖形高低起伏且連續不斷 圖形中有類似波峰或波谷 而且圖形的開口方向有上有下 觀察圖形 可知A B兩點是上下起伏的轉折點 C點是開口方向的轉折點 若可以知道A B C三點的位置 那麼就可掌握f圖形的樣貌 圖形上下起伏的特性稱為單調性 函數開口方向稱為凹向性 本部影片會探討 一階導函數與單調性的關係 下一部影片再探討 二階導函數與凹向性的關係 甚麼是函數的單調性呢 函數遞增與遞減的性質 稱為函數的單調性 若函數f圖形 向右上升或保持水平 則稱f為遞增函數 定義如下 若x 大於x 則f大於等於f 若函數f圖形向右上升 則稱f為嚴格遞增函數 定義如下 若x 大於x 則f大於f 遞增與嚴格遞增之間的差別 是遞增函數的圖形 可能會有水平的圖形 而嚴格遞增函數 則是一定是圖形向右上升 而沒有水平圖形 相對地我們也可以定義 遞減與嚴格遞減函數如下 若x 大於x 則f小於等於f 若x 大於x 則f小於f 同樣地遞減函數的圖形 向右下降或保持水平 而嚴格遞減函數的圖形 則是向右下降 接下來我們先做個小測驗 接下來我們繼續來探討 一階導函數與單調性的關係 觀察f在x等於c附近的圖形 發現當f'大於0時 f在x等於c附近的圖形會遞增 當f'小於0時 f在x等於c附近的圖形會遞減 事實上f'在x等於c附近的正負 描述f在x等於c附近的單調性 寫成以下的定理 設函數f在閉區間上連續 且在開區間上可微分 若開區間內的每個實數x 都滿足f'大於等於0 則f在閉區間上為遞增函數 反之亦成立 若開區間內的每個實數x 都滿足f'小於等於0 則f在閉區間上為遞減函數 反之亦成立 說明此定理之前我們先討論一個性質 若f在閉區間上連續 且在開區間上可微分 則可在開區間中找到c 使得f減f等於f'乘上括號b減a 我們利用圖形來說明這個性質 f在閉區間上的圖形 是連續不斷且平滑的圖形 連接圖形端點A) B) 並且平行移動直線AB 一定可以平移得到成一條切線 所以可以在開區間內找到一點c 使得在)處切線的斜率 等於直線AB的斜率 此時b減a分之f減f 等於f' 因此f減f等於f'乘上括號b減a 解釋了上述的性質後 可以說明定理 若設開區間內的每個實數x 都滿足f'大於等於0 則f在閉區間上為遞增函數 如圖設開區間內兩個數x x 並且令x 大於x 根據上述討論的性質 可以在閉區間內找到t 使得f減f等於f'乘上括號x 減x 由於f'大於等於0 因此f大於等於f 所以f是遞增函數 反過來說 若f是遞增函數時 是否可以推得 在開區間內的每個實數x 都滿足f'大於等於0呢 設x 是開區間內的任意點 因為f是遞增函數 所以在)附近的割線斜率 會大於等於0 f在x等於x 可微分 因此在)附近割線斜率的極限 為切線斜率 所以f'大於等於0 故開區間內的每個實數x 都會滿足f'大於等於0 我們已經說明了定理 會成立的原因了 同樣的說法也可以用到定理 就不重複說明了 至於嚴格遞增與嚴格遞減的條件呢 利用同樣的想法 可以得到下面的定理 設函數f在閉區間上連續 且在開區間上可微分 若開區間內的每個實數x 都滿足f'大於0 則f在閉區間上為嚴格遞增函數 若開區間內的每個實數x 都滿足f'小於0 則f在閉區間上為嚴格遞減函數 此處就不再重複說明了 定理與反過來成立嗎 觀察f等於x的三次方 在閉區間上的圖形 可以知道f是嚴格遞增 但是f'等於0 因此定理反過來不成立 同學你可以舉出定理 反過來不成立的例子嗎 接下來我們利用上述的定理 來判斷多項式函數遞增遞減的區間 例題 試討論函數f 等於2x三次方減3x平方減12x減1的 遞增與遞減的區間 利用-1 2將數線分成 x小於-1 x大於-1小於2 x大於2三個範圍 然後再討論這些範圍 f'的正負情形 從表格中可以得知 當x小於等於-1時 f'大於等於0恆成立 f在半閉區間當x大於等於-1小於等於2時 f'小於等於0恆成立 f在閉區間上遞減 當x大於等於2時 f'大於等於0恆成立 f在半閉區間上連續 且在開區間上可微分 若開區間內的每個實數x 都滿足f'大於等於0 則f在閉區間上為遞增函數 反之亦成立 若開區間內的每個實數x 都滿足f'小於等於0 則f在閉區間上為遞減函數 反之亦成立 若開區間內的每個實數x 都滿足f'大於0 則f在閉區間上為嚴格遞增函數 若開區間內的每個實數x 都滿足f'小於0 則f在閉區間上為嚴格遞減函數 本部影片討論了函數單調性 與一階導函數的關係 下一部影片我們將會繼續討論 函數圖形的凹向性 與二階導函數的關係