上部影片已經討論了函數的單調性 與一階導函數的關係 這部影片我們繼續探討 函數的凹向性與二階導函數的關係 觀察f等於x三次方的圖形 假想這個圖形是條公路 如果汽車從出發 分別沿公路前進至 為了保持在公路上前進 一開始從到要右轉彎 經過往前進則是左轉彎 這種左轉彎 右轉彎的現象 指出了函數圖形的一項重要特性 凹向性 首先我們先觀察 f等於0.5x乘以括號x減1 乘以括號x減2的圖形的凹向性 根據之前的影片對於函數圖形凹向性的定義 觀察x小於-3分之1的圖形 連接圖形上任意兩相異點做線段 此線段都會在圖形下方 因此f在x小於-3分之1的圖形 凹口向下 觀察x大於-3分之1的圖形 連接圖形上任意兩相異點做線段 此線段都會在圖形上方 因此f在x大於-3分之1的圖形 凹口向上 另一方面 我們用點P)由左向右移動時 P點處切線斜率的變化 來探索凹口的方向 當x小於-3分之1 點P處切線斜率 會隨著x的增加而嚴格遞減 此時圖形的凹口向下 當x大於-3分之1 點P處切線斜率 會隨著x的增加而嚴格遞增 此時圖形的凹口向上 函數圖形凹口向上或凹口向下 稱為函數的凹向性 於是可用一階導函數的增減情形 重新來描述函數的凹向性 設f在開區間上可微分 若f'在開區間上為嚴格遞增函數 則f在開區間上的圖形凹口向上 簡稱凹向上 若f'在開區間上為嚴格遞減函數 則f在開區間上的圖形凹口向下 簡稱凹向下 上述的性質亦可推廣到無窮區間 如開區間 開區間 或開區間 根據前面的討論 函數圖形的凹向性 可以觀察函數圖形上 每一點切線斜率的增減 來達成目標 切線斜率向右嚴格遞增 凹口向上 切線斜率向右嚴格遞減 凹口向下 一階導函數f'代表切線斜率函數 因此討論切線斜率的嚴格增減 相當於討論切線斜率函數 f'的嚴格增減 若f在開區間的二階導函數存在 我們可以根據上一部影片介紹的定理 判定f'的嚴格遞增與遞減 而f'的導函數是f'' 當f''大於0時 f'在開區間上嚴格遞增 故f在開區間上的圖形凹向上 當f''小於0時 f'在開區間上嚴格遞減 故f在開區間上的圖形凹向下 因此我們可以用二階導函數的正負 來判定函數的凹向性 我們將上述的結果寫成定理 設f在開區間上二階導函數存在 若f在開區間上 都滿足f''大於0 則f在開區間上的圖形為凹向上 若f在開區間上 都滿足f''小於0 則f在開區間上的圖形為凹向下 上述定理亦可推廣到無窮區間 如開區間 開區間 或開區間 接下來我們舉例來判別圖形的凹向性 設f等於x四次方減2x三次方減12x平方加2 試寫出f的圖形 在哪些區間凹口向上 在哪些區間凹口向下 根據前面討論 我們要知道在哪些區間f''的正負情形 我們求得f的一階與二階導函數 f'等於4x三次方減6x平方減24x f''等於12x平方減12x減24 因式分解f''為 f''等於12乘以括號x加1乘以括號x減2 f''等於0 x等於-1或2 因此可以得知 當x小於-1時 f''大於0 當x大於-1小於2時 f''小於0 當x大於2時 f''大於0 因此可以得知 f在開區間 與開區間上 圖形是凹向上的 f在開區間上圖形是凹向下的 因為多項式函數是連續函數 因此可以將凹向性擴充至區間的端點 也就是說 f在半閉區間上圖形凹向上 f在閉區間上圖形凹向下 看完例題後請同學做個小測驗 前面的例題中 f等於x四次方減2x三次方 減12x平方加2的圖形上 點與左右兩側的凹向相反 這樣的點是圖形彎曲方向的轉折點 我們稱為圖形的反曲點 若f的圖形在a點的左右兩側凹向相反 則稱)為f圖形的反曲點 例題中多項式函數f 在x等於-1與x等於2處的二階導函數 f''等於f''等於0 我們不禁想問 若)為多項式函數f圖形的反曲點 那麼f''會等於0嗎 答案是肯定的 根據前面討論的關於判別凹向性的定理 在反曲點)附近 若x等於a左側凹向下 右側凹向上 f的二階導函數f''會由負轉正 因為f''為連續函數 因此f''等於0 同理若x等於a左側凹向上 右側凹向下 亦可得到f''等於0的結論 最後結論是 若)為多項式函數f圖形的反曲點 則f''等於0 但是反過來說 若f''等於0 那麼)一定是反曲點嗎 考慮f等於x四次方 f''等於12x平方 因此f''等於0 但是在x等於0附近凹口都向上 也就是說不是反曲點 因此f''等於0 不能保證)一定是反曲點 利用上面討論的結果 我們來看一個例題 例題 設f等於x三次方加ax平方加bx加1 圖形之反曲點為 試求數對 因為條件牽涉到反曲點 因此我們先求f的二階導函數 f''等於6x加2a 因為反曲點為 所以f''等於0 可得6加2a等於0 又反曲點為在圖形上 f等於1加a加b加1等於8 即a加b等於6 聯立6加2a等於0 a加b等於6 解得等於 看完例題後請同學做個小測驗 接下來我們將前面討論的內容做個整理