前兩部影片分別討論了 單調性與一階導函數的關係 凹向性與二階導函數的關係 由此就可以掌握圖形上下起伏 與彎曲方向的轉折點 結合這些訊息就可以用來繪製 多項式函數的圖形 本部影片將會以三次函數為例 示範如何繪製多項式函數的圖形 還沒示範如何畫函數圖形之前 先做個練習 設函數f等於2x三次方減6x減1 試求第題 函數在哪些區間會遞增或遞減 第題 函數在哪些區間凹向上或凹向下 計算出多項式函數的一階與二階導函數 就可以得知函數圖形的增減情形 與何處會增減 還有圖形凹向的變化 與何處凹向會改變 結合一階與二階導函數的正負情形 就可以大致上繪製出 函數的近似圖形了 接下來舉實例說明 如何畫三次函數的圖形 例題1 設f等於x三次方減3x平方減9x加5 描繪f的圖形 要描繪f的圖形 可以分成以下幾個步驟 第一步 解f'等於0與f''等於0 f'等於3x平方減6x減9 等於3乘以括號x加1乘以括號x減3 解f'等於0得到x等於-1或3 f''等於6x減6 解f''等於0 得到x等於1 第二步 討論f'與f''的正負區間 將數線用x等於-1 1 3分成4段 並且寫出各段f'與f''的正負情形 f'在x小於-1 x大於-1小於1 x大於1小於3 x大於3各段的正負為 正 負 負 正 f''在x小於-1 x大於-1小於1 x大於1小於3 x大於3各段的正負為 負 負 正 正 第三步 根據f'與f''的正負區間 繪製函數圖形 因為f等於10 f等於-6 f等於-22 因此先在坐標平面上 畫出點 在x小於-1 f'大於0 f''小於0 圖形凹口向下而且遞增 在x大於-1小於1 f'小於0 f''小於0 圖形凹口向下而且遞減 在x大於1小於3 f'小於0 f''大於0 圖形凹口向上而且遞減 在x大於3 f'大於0 f''大於0 圖形凹口向上而且遞增 結合這些訊息就可以大致描繪出 f圖形的大致樣貌 觀察表格與圖形 圖形中 是圖形增減的轉折點 圖形中是反曲點 在之前的影片中 曾經學過三次函數圖形的樣貌 而例題1中 上下起伏的三次函數圖形 只是其中一種 三次函數的圖形還有其它的樣貌 我們再舉例說明 例題2 設f等於x三次方加6x加4 描繪f的圖形 跟例題1步驟相同 第一步解f'等於0與f''等於0 f'等於3x平方加6 f'恆正 故f'等於0無實數解 f''等於6x 解f''等於0 得到x等於0 第二步討論f'與f''的正負區間 用x等於0將數線分成兩段 並且寫出各段f'與f''的正負情形 f'在x小於0 x大於0的正負號是正 正 f''在x小於0 x大於0的正負號是負 正 在x小於0時 f'大於0且f''小於0 圖形凹口向下且遞增 在x大於0時 f'大於0且f''大於0 圖形凹口向上且遞增 第三步 根據f'與f''的正負區間 繪製函數圖形 因為f等於4 因此我們先畫點 再根據表格的內容 描繪出f圖形的大致樣貌 根據前面的討論 可以得知點是反曲點 最後我們做個小測驗 f'等於6乘以括號x減1的平方等於0 得x等於1 f''等於12乘以括號x減1等於0 得x等於1 你會用前面介紹的方法畫