之前的影片曾討論了 形如f等於ax三次方加px加r的圖形特徵 上部影片則利用一階與二階導函數 探討圖形的上升下降 與凹向改變的轉折點 進一步畫出三次函數的圖形 本部影片則是利用 上部影片介紹的方法與步驟 進一步將三次函數的圖形加以分類 設三次函數 f等於ax三次方加bx平方加cx加d 如何來分類f的圖形呢 首先求出 f'等於3ax平方加2bx加c f''等於6ax加2b 我們利用f'與f''的正負號 來討論圖形的樣貌 因為f'等於0的實根 會決定遞增與遞減轉折點是否存在 由於f'等於0是二次方程式 它的根可以分成有兩相異實根 兩相同實根 與沒有實根三種情形 我們可以利用這三個情形 來分類圖形 考慮f'等於0的判別式 等於2b平方減12ac 等於4乘以括號b平方減3ac 令D等於b平方減3ac 接下來我們分成 D大於0 D等於0 D小於0三種情形討論圖形 第一種情形D大於0 此時f'等於3ax平方加2bx加c等於0 有兩相異實根α β 且α小於β 另一方面 f''等於6ax加2b 等於6a乘以括號x加3a分之b f''等於0 由根與係數的關係 α加β等於3a分之-2b 因此2分之α加β 等於3a分之-b 故f''等於0 因為x等於2分之α加β 左右兩側凹向相反 所以)是反曲點 用x等於α 2分之α加β β 將數線分成四段 並且討論各段f'與f''的正負號 並將結果列表出來 並畫出各段的圖形 就可得知f的圖形的樣貌 因為D大於0 f'等於0有兩相異實根 這一類的圖形會上下起伏 並且有極大點與極小點 這兩個點的中點為反曲點 接下來我們討論D等於0的情況 f'等於0會有兩相同實根 設實根是α 此時f'等於3a乘以括號x減α的平方 f''等於6a乘括號x減α 因為f''等於0 故α會等於3a分之-b 用x等於α將數線分成兩段 並且討論各段f'與f''的正負號 並且將結果列表出來 接著畫出各段的圖形 就可得知f的圖形的樣貌 這一類的圖形因為D等於0 因此f'等於3ax平方加2bx加c 會恆大於等於0 或小於等於0 因此圖形不是遞增就是遞減 所以不會有上下起伏的情形 因此不會有極大點與極小點 又因為f''等於0 在x等於α左右兩側凹向相反 所以)是反曲點 另一方面f'等於0 故在反曲點)會有水平切線 最後一個情形是D小於0 此時f'等於3ax平方加2bx加c 恆正或恆負 因此f的圖形不是遞增就是遞減 而f''等於6ax加2b等於0 解得x等於3a分之-b 並且x等於3a分之-b 左右兩側凹向相反 因此)是反曲點 我們還是可以用x等於3a分之-b 將數線分成兩段 討論各段f'與f''的正負號 將結果列表出來 並且畫出圖形 從上面的討論可以得知 D小於0與D等於0時 圖形的樣貌大致相同 都有反曲點 圖形遞增或遞減 沒有上下起伏的情形 差別是反曲點處的切線 D等於0時為水平切線 而D小於0時為斜切線 前面討論的過程中 可以發現三次函數 f等於ax三次方加bx平方加cx加d的圖形 只有一個反曲點) 而我們高一時曾學過 三次函數只有一個對稱點 因為對稱點左右兩側的凹向必定相反 因此我們可以得知 三次函數圖形的反曲點 )就是對稱點 三次函數f等於 ax三次方加bx平方加cx加d的圖形 大致上可以分成兩大類 當b平方減3ac大於0時 f'等於0有兩個相異實根 圖形上下起伏 而有極大點與極小點 )是反曲點 當b平方減3ac等於0 或b平方減3ac小於0時 f'等於0有兩個相等實根或沒有實根 此時圖形不是遞增就是遞減 當然沒有極大點與極小點 這兩種圖形的差別 是當b平方減3ac等於0時 反曲點處有水平切線 當b平方減3ac小於0時 反曲點處有斜切線 總結 三次多項式函數必有反曲點