之前的影片 介紹了利用一階導函數的單調性 與二階導函數的凹向性 畫了三次函數的圖形 讓我們來複習一下 繪製多項式函數圖形的步驟 首先解f'等於0 與f''等於0 接著討論f' 與f''的正負區間 如果f'為正 表示函數圖形是遞增的 如果f'為負 表示函數圖形是遞減的 如果f''為正 表示函數圖形是凹向上 如果f''為負 表示函數圖形是凹向下 然後畫出函數增減 與凹向變化的轉折點 最後根據f'與f''的正負區間 繪製函數圖形 遞減且凹向上的圖形長這樣 遞增且凹向上的圖形長這樣 遞增且凹向下的圖形長這樣 遞減且凹向下的圖形長這樣 接下來我們用同樣的方法 來試著繪製四次函數的圖形 以f等於x四次方減6x平方加5 的圖形為例 首先解f'等於0 與f''等於0 f'等於4x三次方減12x 因式分解得 4x乘括號x平方減3等於0 解得x等於負根號3 根號3 f''等於12x平方減12 因式分解得 12乘以括號x減1乘括號x加1等於0 解得x等於-1 1 接著討論f'與f''的正負區間 將數線用x等於負根號3 -1 根號3 分成6段 其中當x等於負根號3 0 根號3時 f'等於0 當x等於-1 1時 f''等於0 f'在各段的正負由右而左依序為 正 負 正 負 f''在各段的正負由右而左依序為 正 負 正 然後畫出函數增減與凹向變化的轉折點 f等於-4 f等於0 f等於5 f等於0 f等於-4 最後根據f'與f''的正負區間 繪製函數圖形 當x小於負根號3時 圖形遞減凹向上 圖形長這樣 當x大於負根號3小於-1時 圖形遞增凹向上 圖形長這樣 當x大於-1小於0時 圖形遞增凹向下 圖形長這樣 當x大於0小於1時 圖形遞減凹向下 圖形長這樣 當x大於1小於根號3時 圖形遞減凹向上 圖形長這樣 當x大於根號3時 圖形遞增凹向上 圖形長這樣 從表格與圖形中可以發現 是圖形增減的轉折點 是反曲點 四次函數的圖形 除了剛剛的型態之外 還有一些其他的樣貌 例如y等於ax四次方的圖形 當a大於0時 會是一個開口向上的圖形 圖形中有一個最小值 當a小於0時 會是一個開口向下的圖形 圖形中有一個最大值 此外並非所有的四次多項式函數圖形 都會左右對稱 也有類似這樣型態不對稱的圖形 而有的四次函數的圖形 會有三個在局部範圍內的 最高點或最低點 例如y等於x四次方減3x平方的圖形 就會有兩個局部範圍內的最低點 與一個局部範圍內的最高點 而y等於-x四次方加3x平方 就會有兩個局部範圍內的最高點 與一個局部範圍內的最低點 繪製四次多項式函數的圖形概念與步驟 與三次多項式差不多 最後來幫同學整理一下 首先解f'等於0 與f''等於0 接著討論f' 與f''的正負區間 如果f'為正 表示函數圖形是遞增的 如果f'為負 表示函數圖形是遞減的 如果f''為正 表示函數圖形是凹向上 如果f''為負 表示函數圖形是凹向下 然後畫出函數增減 與凹向變化的轉折點 最後根據f'與f''的正負區間 繪製函數圖形 有了繪製函數圖形的基礎後 接下來會帶大家討論 多項式函數圖形的極值 大家繼續加油吧