在一筆數據當中 在實務上的應用 一般我們會想要知道 數據中的最大值與最小值是多少 如果這筆數據的值 是伴隨著某種變因而被決定的數 那麼通常我們會想要知道 最大值與最小值 是發生在什麼變因之下 進行分析 並探討原因 例如這筆資料事實上 是正弦函數相對的值 當x等於2分之π時 sin x有最大值1 而當x等於2分之3π時 sin x有最小值-1 我們不僅能知道整體資料的最大值是1 最小值是-1 還需要明確的知道 最大值與最小值是分別發生在 x等於2分之π 與x等於2分之3π時 現實生活中充滿著這樣需要分析的情境 例如匯率問題 觀察30天內的美元與台幣匯率關係 美元對台幣的匯率 隨著日期不同而有所改變 當我們將1美元換台幣的值視為縱軸 將日期視為橫軸 為了方便觀察數據的變化關係 我們將30日的匯率 用圖形來呈現 可以發現最高點與最低點的位置 事實上美元匯率最高的值為31.36 最高匯率發生在7月10日 然而美元匯率最低的值為30.66 最低匯率發生在6月17日 一個問題的值與變因的關係 通常我們會使用函數來表示 而函數圖形則是具有相當的視覺效果 能幫助我們從中直接觀察 最大值與最小值大概的位置 這個單元我們要介紹的就是 有關函數在特定區間中的 最大最小值的概念 考慮一個函數y等於f的圖形 在限定的區域區間中 觀察圖形的最高點 若最高點發生在x等於c 則所對應的縱軸函數值f 稱為此函數在區間中的最大值 也就是說區間內所有的函數值 以f為最大 相對的若最低點發生在x等於d 則所對應的縱軸函數值f 稱為此函數在區間中的最小值 也就是說區間內所有的函數值 以f為最小 例如畫面中的函數y等於f的圖形 若考慮區間 則最大值為12 發生在x等於18 然而最小值為5 發生在x等於7的位置 但若將考慮的區間改為區間 則可以發現最大值為8 最大值發生在兩個位置 分別為x等於4與x等於9 然而最小值仍為5 同樣發生在x等於7的位置 若我們將考慮的區間改為區間 則從函數圖形可以發現 最大值為11 發生在x等於16 而最小值為6 發生在x等於10 透過這個例子 我們可以歸納以下幾點觀念 1.在固定的區間內 函數最大值的數值是唯一的 但發生的位置可能不唯一 最小值也是如此 2.若考慮的區間不同 則最大值與最小值的數值 即有可能改變 因此在討論最大值與最小值的問題時 必須先確定區間的範圍 畫面中的曲線為某個股票 上市之後的價格走勢圖 一般而言我們當然好奇 最高與最低的價值為何 這就是最大值與最小值的問題 然而我們也好奇 當價格在某時期上漲的過程中 導致多數的人想要獲利了結 因而賣家多於買家 使得股票上漲到一個局部的高價位時 隨著賣壓出籠 價格開始下跌 這樣的過程在價格走勢圖中 將產生出一個局部的高點 為圖形的波峰 此外若探討的範圍是一個區間 則端點的位置也可能是局部的高點 這些局部的高點的特性就是 這個點附近的值它最大 我們將這樣的值稱為極大值 這個曲線圖形共有4個局部的高點 其中3個是波峰 1個則是發生在右端點的位置 相對的當價格在下跌的過程中 導致多數的人想要逢低買進 因而買家多於賣家 使得股票下跌到一個局部的低價位時 隨著買盤出籠 價格開始止跌回升 這樣的過程在價格走勢圖中 將產生出一個局部的低點 為圖形的谷底 此外若探討的範圍是一個區間 則端點的位置也可能是局部的低點 這些局部的低點的特性就是 這個點附近的值它最小 我們將這樣的值稱為極小值 這個曲線圖形共有4個局部的低點 其中3個是谷底 1個則是發生在左端點的位置 一個函數的極大值與極小值 我們通稱為極值 極值發生的位置在波峰 谷底 以及端點的位置 特別要注意 當價格從上漲 轉變為下跌時 雖然造成了一個局部的高點 但後續仍可能因為價格跌深反彈後 價格上漲突破新高 創造出更高的價格 因此極大值通常只是一個局部的高點而已 不一定是全體的最高點 同樣的道理 極小值也只是一個局部的低點 不一定是全體的最低點 例如畫面中的函數y等於f的圖形 若考慮區間 則最大值為10 發生在x等於8 然而最小值為2 發生在x等於0 但我們可以發現 圖形的起伏過程 出現了幾處局部的高點 如x等於4 8 16時 皆為局部的高點 故6 10 9皆為極大值 相同的圖形也出現了幾處局部的低點 發生在x等於0 6 12時 故2 5 4皆為極小值 特別注意在點坐標的位置 因為在一個小區間來看 左邊的值比7小 右邊的值比7大 因此這個點並不是局部的高點或低點 所以這不是極值的位置 透過這個例子 我們可以歸納以下幾點觀念 1.函數的最大值因為是整體圖形的最高點 因此當然也是極大值 同樣的最小值也是極小值 2.極大值發生的位置不唯一 且極大值的數值也不唯一 極小值也是如此 3.極大值只是局部的最高點 因此極大值不一定就是最大值 極小值也不一定是最小值 4.極大值發生在函數圖形的波峰或端點處 極小值發生在函數圖形的谷底或端點 同學們已經瞭解了極大值與極小值的意義了 那麼一個函數在區間內的某個極大值 有沒有可能小於某個極小值呢 兩者之間具有一定的大小關係嗎 歡迎同學在留言處分享你的看法喔 這個單元我們介紹了 函數f在區間中的最大值 最小值與極值的概念 其要點如下 1.最大值為區間內最大的函數值 在幾何上為函數圖形的最高點 最小值為區間內最小的函數值 在幾何上為函數圖形的最低點 2.局部的高點其值稱為極大值 局部的低點其值稱為極小值 在幾何上為函數圖形的波峰 谷底 或是端點的位置