在之前的影片我們介紹了 一個函數在特定區間中的 最大值 最小值 極大值 與極小值的概念 考慮定義在閉區間中的函數f 最大值為區間內最大的函數值 在幾何上為函數圖形的最高點 最小值為區間內最小的函數值 在幾何上為函數圖形的最低點 函數圖形局部的高點 其函數值稱為極大值 函數圖形局部的低點 其函數值稱為極小值 以畫面的函數圖形為例 當x等於8時 f有最大值10 當x等於0時 f有最小值2 當x等於4 8 16時 函數值6 10 9皆為f的極大值 當x等於0 6 12時 函數值2 5 4皆為f的極小值 直觀上我們可以理解 最大值與最小值的概念 那麼從數學的角度 該如何正式定義 最大值與最小值呢 假設f是定義在閉區間上的函數 若c在閉區間中 滿足此區間內任意的x 函數值f始終小於等於f 則稱f為函數f在閉區間中的最大值 為全體函數值中 最大的那個數 亦為函數圖形最高點的y坐標 例如f等於-x平方加2x加5 為定義在實數上的函數 其函數圖形為開口向下 且頂點為的拋物線 故當x等於1時 f有最大值6 同樣的若c在閉區間中 滿足此區間內任意的x 函數值f始終大於等於f 則稱f為函數f在閉區間中的最小值 為全體函數值中最小的那個數 亦為函數圖形最低點的y坐標 例如f等於x平方減4x加7 為定義在實數上的函數 其函數圖形為開口向上 且頂點為的拋物線 故當x等於2時 f有最小值3 若f在閉區間上為連續函數 其函數圖形從點坐標) 到)的過程 為連續不斷的圖形 不論中間的函數圖形的起伏狀態為何 我們都可以直觀的發現 函數f在此閉區間中 必然會存在最大值與最小值 我們將這樣的結論稱為 連續函數的最大值與最小值定理 生活中的情境常能有這樣的結論 例如2點開車 以時速30公里的初速度 從A點出發 一直到3點時通過B點 此時末速度為每小時40公里 我們則可以保證在開車的過程中 必定會有某個時刻 車子達速度的最大值 同樣的也必定會有某個時刻 車子達速度的最小值 要特別注意的是 這個定理的結論是建立在 閉區間的條件上 倘若函數是定義在一個開區間上 則未必存在最大值與最小值 例如定義在開區間的函數 f等於x三次方減2x加1 從圖形中可以發現 當x逐漸靠近2 f的值會越來越大 但f不在考慮範圍內 因此我們講不出一個最大的函數值 故f在開區間中沒有最大值 同理f也沒有最小值 然而一個函數圖形的波峰 谷底與端點的位置 其函數值皆有一個共同的現象 那就是在這些點的附近 若把考慮的區間縮小到一個程度後 其函數值必定為這個小區間中的 最大值或最小值 讓我們來看不同區間時的狀況 我們將這些特殊的函數值統稱為極值 對於極值的概念 我們有以下定義 令f是定義在區間I上的函數 若區間I中存在一個數α 使得在α附近的實數x皆滿足 f大於等於f 則我們稱f是此函數在區間I上的極大值 一般而言 極大值發生在波峰以及端點的位置 若區間I中存在一個數β 使得在β附近的實數x皆滿足 f小於等於f 則我們稱f是此函數在區間I上的極小值 一般而言 極小值發生在谷底以及端點的位置 讓我們來看一個例子 令f是定義在閉區間上的函數 其圖形如畫面所示 則我們知道f的極大值為 f f與f 其中f與f為波鋒的函數值 而f為右端點的函數值 然而f的極小值為 f f與f 其中f與f為谷底的函數值 而f為左端點的函數值 從這個例子我們不難發現 極大值與極小值並沒有一定的大小關係 也就是極大值有可能小於極小值 這個單元我們介紹了 最大值 最小值 與極值的數學定義 令f是定義在區間I上的函數 若c在區間I中 滿足對任意x屬於I 函數值f大於等於f 則稱f為函數f在區間I中的最大值 若c在區間I中 滿足對任意x屬於I 函數值f小於等於f 則稱f為函數f在區間I中的最小值 若區間I中存在一個數α 使得在α附近的實數k皆滿足 f大於等於f 則稱f為函數f在區間I中的極大值 若區間I中存在一個數α 使得在α附近的實數k皆滿足 f小於等於f 則稱f為函數f在區間I中的極小值